Para demostrar que un enunciado matemático es falso es suficiente para encontrar un contraejemplo?

Question

Estoy tratando de mostrar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. Es cierto que $|a + b| = |a| + |b|$ general vectores $a$$b$?

2. Si $a \cdot b = a \cdot c$ para el mismo tamaño de vectores no nulos $a$, $b$, $c$, de lo anterior se sigue que el $b = c$?

Para la primera he encontrado un contraejemplo que muestre que la afirmación es falsa.

Si el vector de $a=\langle 1,4,5\rangle$ $b=\langle 2,2,2\rangle$ $|a|+|b|=\sqrt{42}$+$2\cdot\sqrt{3}=9.945$, y luego, $|a+b|=\sqrt{1^2+4^2+5^2+2^2+2^2+2^2}=7.348$,

entonces podemos concluir que $9.945 \ne7.348$ y la afirmación es falsa. También por el triángulo de identidad $|a + b| \le |a| + |b|$

Para la segunda instrucción también he encontrado un contraejemplo que demuestra que es falsa. Si el vector de $a=\langle 1,0,0\rangle$, $b=\langle 0,1,0\rangle$ y $c=\langle 0,0,1\rangle$, obtendremos la siguiente producto escalar:

$a \cdot b = 0$

$a \cdot c = 0$

a continuación, $a \cdot b = a \cdot c = 0$ $b \ne c$

Mi pregunta es:

Para probar las dos instrucciones es suficiente para encontrar un contraejemplo y decir si es verdadero o falso. O debo tratar de proporcionar una prueba matemática como la inducción o contradicción?

Answer 1

Cuando se considera una declaración en la que afirma que algo es siempre verdadero o verdadero para todos los valores de cualquiera de sus "objetos" o "entradas" son: sí, para demostrar que es falso, proporcionando un contraejemplo es suficiente, debido a que un contraejemplo sería la prueba de que la declaración no es verdadera para todos los valores posibles. Por otro lado, para demostrar que un enunciado es verdadero, un ejemplo no sería suficiente, sino que tiene que ser demostrado en algunos de manera general (salvo que exista una finito y lo suficientemente pequeño número de posibilidades para que podamos comprobar todos ellos, uno después del otro).

Así que, lógicamente hablando, para estos dos ejemplos concretos, tienes razón — cada uno puede ser demostrado ser falso con un contraejemplo. Y tanto su contraejemplos hacer el trabajo, pero asegúrese de que las matemáticas apoyo a su reclamo es justo: en el primer ejemplo se calculan $|a+b|$ incorrectamente.

Por cierto, la referencia a la desigualdad de triángulo es un buen toque, pero no prueba nada. Más bien, es un fuerte indicio que sugiere que no tienen que ser ejemplos de la desigualdad, en lugar de la igualdad se mantiene.

Answer 2

Si una declaración de ${\cal S}$ es de la forma "todos los $x\in A$ tienen la propiedad de $P$" a continuación, una sola $x_0\in A$ no tiene la propiedad de $P$ demuestra que la declaración de ${\cal S}$ es malo.

Pero no todas las sentencias son de esta forma. Por ejemplo, la instrucción ${\cal S}\!:\>$"$\pi$ es racional" no puede ser refutada por algunos "fácil" contraejemplo, pero sólo por medio de duro trabajo.

Answer 3

Sí, cualquier contraejemplo va a hacer. Es a menudo instructivo para buscar la más simple contraejemplo. Por ejemplo, tome una dimensión espacio vectorial $\Bbb R$ y los vectores $a=1$ $b=-1$ en el caso de la primera instrucción.

Answer 4

Si la afirmación es verdadera, entonces usted dar una prueba matemática. Puesto que usted no puede encontrar todas las entradas para demostrar que la afirmación es verdadera, incluso las computadoras no pueden hacer esto por las declaraciones de algunos.

Si la declaración es falsa, entonces usted dar un ejemplo contrario. Desde la declaración dice que es cierto para todos los factible entradas, usted sólo tiene que encontrar un factible de entrada que no satisface la declaración.

Como para sus soluciones, todo parece correcto con dos errores. $a+b$ en el primer ejemplo es <3,6,7> y el triángulo de la desigualdad es $|a+b| \leq |a|+|b|$.

Answer 5

Como otras respuestas han explicado, si usted tiene una declaración de que algo es cierto para todas las entradas posibles, a continuación, un solo contraejemplo refuta la afirmación. Período.

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Tal vez, sin embargo, usted puede tener algunos persistentes dudas sobre cómo "genérico" el contraejemplo es. Seguro, tal vez podemos probar que $\lvert a+b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$ es falso para$a=(1,4,5)$$b=(2,2,2)$. Sin embargo, para que todos sabemos, este podría ser el único contraejemplo. Ya sabemos que la afirmación es falsa (más allá de cualquier duda), pero tal vez es sólo "técnicamente" falso. Tal vez sea verdad "en el caso típico", y acaba de pasar a buscar la única excepción.

Por ejemplo, supongamos que yo reclamo "$x^4 + y^4 \ne z^4$ para todos los números enteros $x$, $y$, y $z$". Usted dice, "Eso no es cierto: $0^4 + 1^4 = 1^4$". Usted tendría razón: de Hecho mi reclamación es incorrecta. Pero si usted está dispuesto a dejar que me mueven los postes de la meta un poco, que fácilmente se puede salvar el reclamo por la exclusión de "trivial" contraejemplos como $0^4 + 1^4 = 1^4$. El reclamo sigue true "en el típico caso de" - "técnicamente" falsa, pero la verdadera "en el espíritu".

La mayoría de las veces no se ve gente abordar explícitamente cómo "genérico" su contraejemplo es. Te acaba de dar un contraejemplo y hacer. E implícitamente, están diciendo que este contraejemplo es lo suficientemente convincente de que la demanda es "en general" falso. Porque:

Cuando una declaración es falsa, es "generalmente" falso... en general.

Esta creencia es completamente no-riguroso y no formalmente justificados, pero eso está bien, que no había significado formal para "caso típico", "en general, verdadero/falso", y "trivial" para comenzar con.

Cómo podemos hacer un argumento más convincente que una declaración no sólo es falsa, sino que "en general" falsa?

Dependiendo de la situación, podríamos tratar de mostrar que:

• Hay infinitamente muchos contraejemplos (no solo uno)
• Hay infinitamente muchos contraejemplos, que no solo obvia las variaciones de uno a otro (por ejemplo, no sólo constante de los múltiplos de cada uno de los otros)
• El conjunto de contraejemplos tiene volumen infinito
• Una entrada aleatorio (extraída de un escogido de distribución de probabilidad) es un contraejemplo con una probabilidad de $1$

... y la lista continúa. En la mayoría de los afortunados caso, podemos encontrar una respuesta definitiva, describiendo exactamente lo que las entradas de satisfacer la demanda y cuales no. Por ejemplo, resulta que el "$\lvert a+b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$" es verdadera si y sólo si $a$ $b$ son positivos múltiplos escalares de cada uno de los otros, o de ambos o uno de ellos es $0$. Esta es una rigurosa instrucción que es más fuerte que simplemente refutar "$\lvert a+b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$ todos los $a$$b$", y puede ser interpretado de manera informal como diciendo que "$\lvert a+b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$" es "generalmente" falso.

Estas son las maneras en las que podría ir más allá de demostrar que una afirmación es falsa, para demostrar que es "muy" falso.

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Pero basta de hablar acerca de las declaraciones falsas de ser "generalmente falso" o "sólo técnicamente falso". Todavía es falso. Todos hablan consiste en mover los postes de la meta, en sustitución de la declaración original con una diferente.

Para cualquiera que sea real, específicos de la demanda, usted podría estar considerando, un contraejemplo es suficiente para refutar.