Lo que $G$ debe ser cíclico

Question

Que $G$ ser un grupo finito, asumir que para cualquier par de subgrupo $H, K$ $G$ o $H\subseteq K$ o $K\subseteq H$. Lo que $G$ debe ser cíclico.

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Supongamos que es máxima en $a$ $G$. Que $\langle a\rangle =H$ y $\langle b\rangle =K$. Si $H\subseteq K$, entonces es una contracción desde $a$ es máxima. Si $K\subseteq H$, entonces el $b=a^n\in H$ $n\in \mathbb{N}$, por lo tanto, $H$ siendo cíclico que implica que el $G$ es cíclico.

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¿Puede alguien verificar la prueba válida o no? Gracias

Answer 1

Creo que tienes la idea correcta, y simplemente se expresan en un claro camino. Para utilizar básicamente la misma estructura y el mismo método de prueba, se podría escribir como:

Deje $a$ ser tal que $\langle a \rangle$ nunca es estrictamente contenida en $\langle b \rangle$ cualquier $b$. Si dejamos $H=\langle a \rangle$ $K=\langle b\rangle$ algunos $b$, entonces tenemos que, o bien $H\subseteq K$ o $K\subseteq H$. Sin embargo, dado que elegimos $a$ tal que $\langle a\rangle \not\subset \langle b \rangle$ cualquier $b$, podemos asumir que $K\subseteq H$, lo que implica que $a^n=b$. Dado que esto es de alguna $b$, llegamos a la conclusión de que $a$ debe generar todo el grupo, lo que significa que el grupo es cíclico.

También podríamos considerar la posibilidad de justificar la primera frase (por ejemplo, por qué un $a$ existe). Podemos considerar $a$ un elemento maximal en $G$ cuando es ordenado por la relación $a>b$ donde $\langle a\rangle \supset \langle b\rangle$ - y cada finito poset tiene que tener un elemento maximal, entendiendo por tales un $a$ existe.

Answer 2

Quizás uno de reescritura de la prueba a lo largo de las siguientes líneas.

Deje $a$ ser un elemento de $G$ de la máxima orden, y deje $H$ ser el subgrupo de $G$ generado por $a$. Nos muestran que $H$ es de $G$.

Supongamos que al contrario, que hay un $b\in G$ tal que $b$ no $H$, y deje $K$ ser el subgrupo de $G$ generado por $b$. Está claro que $K$ no es un subconjunto de a $H$. Por lo $H$ es un subconjunto de a $K$, necesariamente correcta. Esto contradice la maximality de la orden de $a$.

Answer 3

Supongo que $G$ no es cíclico, así que deje que $\{a_1,\dots,a_n\}$ ser el conjunto de generadores y que $H_i=\langle a_i \rangle$ donde $i\in \{1, \dots n\}$.

Ahora por hipótesis, llegaremos a $$H_{i_1}\subseteq H_{i_2} \dots \subseteq H_{i_n}=\langle a_{i_n}\rangle$$ and this implies that $ a_{i_n}$ generates $G$ and thus cyclic which is a contradiction. $\hspace{2cm} \blacksquare$