solución para la ecuación diferencial de derivar la serie de energía

Question

Encontrar la solución de la ecuación diferencial $$y'= 2xy$$ statisfying $y(0)=1$, suponiendo que se puede escribir como una potencia de la serie de la forma $$ y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.$$

Im recomienda derivar el reccurrence relación entre el coeficiente de thie de la serie y escribir fuera de los tres primeros no-cero términos de la serie de forma explícita.

Tratando de entender y completar plenamente estos tipos de problemas. Sólo he sido capaz de llegar a una etapa en la que puedo combinar términos semejantes, a continuación, se pierden por donde tomarlo.

Me gustaría mucho apreciamos una explicación a este hecho.

Answer 1

La idea es que si dos de alimentación de la serie de acuerdo en algunas región de convergencia, entonces son la misma. Que es si $\sum_n f_n x^n = \sum_n g_n x^n$ $x$ es cierta región, a continuación,$f_n = g_n$.

Así que supongamos $y(x) = \sum_n y_n x^n$. Entonces podemos pensar que de $y$ como los coeficientes de su poder de la serie, que es $(y_0, y_1,...)$.

Entonces $y'(x) = \sum_n n y_n x^{n-1}$. Esto corresponde a la potencia de la serie $(y_1, 2 y_2, 3 y_3, \cdots)$.

También puede calcular $2xy(x) = \sum_n 2 y_n x^{n+1}$, que corresponde a la potencia de la serie $(0, 2 y_0, 2 y_1, 2 y_2, \cdots)$.

Si $y$ resuelve la ecuación diferencial dada, debemos tener $(y_1, 2 y_2, 3 y_3, \cdots) = (0, 2 y_0, 2 y_1, 2 y_2, \cdots)$.

Esto nos muestra que $y_1 = 0$, por lo tanto $y_3 = 0$, etc., así, por extraño $n$, tenemos $y_n = 0$.

Incluso para $n$,$n y_n = 2 y_{n-2}$. Si podemos solucionar esto, tenemos $y_n = {1 \over { n \over 2}!} y_0 = {1 \over { n \over 2}!}$ (utilizando el hecho de que $y(0) = y_0$).

Así, vemos que $y(x) = 1 + {1 \over 1!} (x^2) + {1 \over 2!} (x^2)^2+\cdots + {1 \over n!} (x^n)^2 +\cdots$, y desde $e^x = 1+ {1 \over 1!} x + {1 \over 2!} x^2 + \cdots$, vemos que, por comparación, que $y(x) = e^{x^2}$.

Como un aparte, tenga en cuenta que si $y$ tiene una potencia de serie $(y_0,y_1,\cdots)$, luego la función de $x \mapsto y(x^2)$ tendrán el poder de la serie $(y_0, 0, y_1, 0, y_2, 0, \cdots)$. (La región de convergencia, en general, ser diferente).

Answer 2

$$y'=2xy\Longleftrightarrow$$ $$\frac{dy}{dx}=2xy\Longleftrightarrow$$ $$dy=2xydx\Longleftrightarrow$$ $$\frac{1}{y}dy=2xdx\Longleftrightarrow$$ $$\int \left(\frac{1}{y}\right)dy=\int (2x) dx\Longleftrightarrow$$ $$\ln|y|=x^2+C\Longleftrightarrow$$ $$y=e^{x^2+C}$$ $\begin{equation} \left(\partial^2 + m^2 \right) \phi(x)=0 \end-$ $$y=e^{x^2+C}\Longrightarrow$$ $$1=e^{0^2+C}\Longleftrightarrow$$ $$1=e^{C}\Longleftrightarrow$$ $$C=\ln(1)=0$$

So: $$y=e^{x^2+0}\Longleftrightarrow y=e^{x^2}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x^2)^k}{k!}$$

Answer 3

Debemos tener en cuenta que esta ecuación diferencial se puede resolver rápidamente, ya que es un separables ecuaciones diferenciales:

$$y'/y = 2x \implies \ln y = x^2 + C \implies y = e^C e^{x^2}$$ and the initial condition $y(0)=1$ yields $y = e^{x^2}$.

El poder de la serie método de la idea es la de asumir que la solución se puede expresar como una potencia de la serie (hay teoremas para justificar este supuesto, en muchos casos) y, a continuación, enchufe en una potencia de la serie en la ecuación diferencial. Porque ya sabemos la solución, esto nos dará una forma de comprobar en nuestro método.

Suponga que $y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$. A continuación,$y' = \sum_{n=0}^\infty a_n n x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (n+1) x^n$.

Conéctalo a la ecuación diferencial para encontrar:

$$\sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (n+1) x^n = 2x \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty 2a_n x^{n+1} = \sum_{n=1}^\infty 2a_{n-1} x^n$$

Sigo el ajuste de los índices en la suma para facilitar la identificación de los términos. Ahora vemos que $$a_{n+1}(n+1) = 2a_{n-1}$$ or $$a_{n+1} = \frac{2 a_{n-1}}{n+1}$$ Notice the skip. We are defining $a_{n+1}$ in terms of $a_{n-1}$ and not $a_n$. Esto significa que vamos a tener dos diferentes recurrencias, uno para completar los índices y uno para incluso.

El requisito de que $y(0)=1$ nos dice que $a_0 =1$. Por lo tanto $a_2 = 1$ $a_4 = \frac{1}{2}$ etc. En última instancia, tenemos $a_{2n} = \frac{1}{n!}$.

Ahora para los coeficientes impares (que no debería haber ninguna ya que esta es una función par) puede ser determinada teniendo en cuenta que la potencia de la serie a la derecha de la ecuación no tiene término constante. Comparando con el lado izquierdo vemos que esto significa $a_{1}=0$. Por lo tanto nuestra recursividad nos dice que no hay ningún extraño coeficientes.

Por lo tanto podemos concluir que el $y = \sum_{n=0}^\infty a_{2n} x^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^{2n} = e^{x^2}$