Importante actualización
Ha habido un gran error en uno de mis cálculos, señalados provechoso por doraemonpaul. El límite inferior para la segunda adición se ha cambiado a $k=0$ en lugar de $k=1$. Esto sobre todo ha borrado todo mi trabajo en esta suma así que estoy empezando desde cero una vez más. Sin embargo, esto puede revelar una suma mejor a evaluar. Quién sabe.
La serie es el siguiente
$$\sum^\infty_{n=0}\sum^n_{k=0}\frac{1}{e^{n-1}(n-k)!(n-1)^{k-1}}$$