Como he mencionado en los comentarios, P&S están trabajando en la imagen de Schrödinger que significa que el operador de los campos son independientes del tiempo. Por supuesto, en la imagen de Heisenberg, la solución de Klein-Gordon ecuación es dependiente del tiempo (y, a continuación, tendrá cuatro vectores). Para ver esto, vamos a escribir el de Klein-Gordon ecuación:
\begin{equation}
\left(\partial^2 + m^2 \right) \phi(x)=0
\end{equation}
donde $g=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$. A continuación, las soluciones en la imagen de Heisenberg puede ser escrita como:
\begin{equation}
\phi(x) = e^{\pm i p_\mu x^\mu}
\end{equation}
que puede ser fácilmente verificado:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\partial^2 \phi & = \partial_\mu \partial^\mu \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\&
= \partial_\mu \left(\pm i p^\mu\right) \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\&
= \left(\pm i p^\mu\right) \left(\pm i p_\mu\right) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\&
= - p_\mu p^\mu e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\&
= -(E^2 - \mathbf{p}^2) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\&
= -m^2 e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\&
= -m^2 \phi
\end{aligned}
\end{equation}
y así:
\begin{equation}
\left(\partial^2 +m^2\right)\phi = \left(-m^2 +m^2\right)\phi = 0
\end{equation}
Es normal escribir la solución en términos de positivo de la frecuencia de soluciones y negativo de la frecuencia de soluciones:
\begin{equation}
\phi(x)=\phi_+(x) + \phi_-(x) = a e^{- i p_\nu x^\nu} + b e^{+ i p_\nu x^\nu} \tag{1}
\end{equation}
Por supuesto, también necesitamos sumar sobre todos los de energía-impulso de los valores de $p_\mu$ (debido a que la ecuación de $(1)$ es una solución para cualquier valor de $p_\mu$). Por lo tanto, la solución general es:
\begin{equation}
\phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + b(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right]
\end{equation}
donde $N$ es una constante de normalización.
En fin, a ver cómo cambiar entre la Dirac y Schrodinger imagen, me refiero a la sección $2.4$ de P&S.
Edición no podía ayudar a mi auto y rápidamente añadir esto:
P&S están discutiendo el real de Klein-Gordon campo, lo que significa:
$$ \phi = \phi^* $$
y así:
\begin{equation}
\int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i p^\mu x_\mu} + b(\mathbf{p}) e^{ip^\mu x_\mu}\right] = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N^*} \; \left[ a^*(\mathbf{p}) e^{ ip^\mu x_\mu} + b^*(\mathbf{p}) e^{-i p^\mu x_\mu}\right]
\end{equation}
lo que implica:
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
a(\mathbf{p}) = b^*(\mathbf{p}) \; ,& b(\mathbf{p}) = a^*(\mathbf{p})
\end{array}
\end{equation}
y $N$ debe ser real. Así que el verdadero campo puede ser escrita como:
\begin{equation}
\phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + a^*(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right]
\end{equation}
