¿Cómo puedo calcular $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n!})^n$ y $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n!})^{n^n}$?

Question

¿Cómo se calcula los siguientes límites?

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n!}\right)^n$$ $$\lim_{n \to \infty} \left (1 + \frac{1}{n!} \right)^{n^n}.$$

Realmente no tengo ninguna pista sobre cómo proceder: sé que el famoso límite que define $e$ ($\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n=e$), pero los factoriales (y el exponente de la segunda) aquí me tiro. ¿Alguna idea?

Answer 1

Primer límite es fácil. Vamos $$f(n) = \left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n}$$ We will use the fact that the sequence $a_{n} = (1 + (1/n))^{n}$ is strictly increasing for $n \geq 3$ and tends to a positive limit (when $n \to \infty$) denoted by $e$. Also $2 < e < 3$. These facts can be proven (and given in many textbooks) without any standard theory of logarithms and exponentials. Another fact which we need to know is that if $ > 0$ then $^{1/n}$ tends to $1$ as $n \to \infty$.

Por lo tanto tenemos a $a_{n} = (1 + (1/n))^{n} < e$ todos los $n$. La sustitución de $n$ $n!$ tenemos que $(1 + (1/n!))^{n!} < e$. Por lo tanto podemos ver que $$1 < f(n) = \left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n} = \left(\left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n!}\right)^{1/(n - 1)!} < e^{1/(n - 1)!}$$ Again it is easy to prove that $1/(n - 1)! < 1/n$ for all $n > 3$ and hence we have $$1 < f(n) < e^{1/n}$$ for $n > 3$. Letting $n \to \infty$ and using Squeeze theorem we get $f(n) \a 1$ as $n \to \infty$.

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Para la función $$g(n) = \left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n^{n}}$$ we need to use the fact that $$a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \geq 2$$ for $n$. Replacing $n$ by $n!$ we get $$\left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n!} \geq 2$$ for all $n$. And then we can see that $$g(n) = \left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n^{n}} = \left(\left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n!}\right)^{n^{n}/n!}\geq 2^{n^{n}/n!}\tag{1}$$ We next need to analyze the sequence $n^{n} / n!$. It turns out it is simpler to handle its reciprocal $b_{n} = n!/n^{n}$. Clearly $$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!} = \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}} \to \frac{1}{e} < 1$$ and hence the series $\suma b_{n}$ is convergent (Ratio test) and hence $b_{n} \to 0$.

De ello se desprende que $1/b_{n} \to \infty$$n \to \infty$. Se desprende también que el$2^{1/b_{n}} \to \infty$$n \to \infty$. De $(1)$ vemos que $g(n) \geq 2^{1/b_{n}}$ y, por tanto,$g(n) \to \infty$$n \to \infty$.

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Nota: De lo anterior se observa que en la mayoría de los casos límite básico de teoremas y ciertos límites estándar son suficientes para resolver un problema sin la invocación de resultados avanzados. En este caso, por ejemplo, nos topamos con los límites que involucran la variable de exponentes como $n!$$n^{n}$, y sin embargo su solución fue posible sin la teoría de exponenciales y logaritmos. A menos que tengamos que lidiar con exponentes irracionales (o dicen complejo/imaginario) no tiene sentido invocar la teoría general de logaritmo y exponencial.

Answer 2

PISTA: $$ \lim_{n \to \infty} \left (1 + \frac{1}{n!} \right)^n=\lim_{n \to \infty} \left (\left (1 + \frac{1}{n!} \right)^{n!} \right)^{n/n!} $$ y el límite interno es $e$, por lo tanto, el final es 1. El segundo caso es similar.

Answer 3

Consideran la primera expresión $$A=\left(1 + \frac{1}{n!}\right)^n$$ So $$\log(A)=n\log\left(1 + \frac{1}{n!}\right)\approx \frac n{n!}=\frac 1{(n-1)!}$$ So, $\log (A) $ goes to $0 $ and then $A $ to $1$.

Considerar la segunda expresión $$B_n=\left(1 + \frac{1}{n!}\right)^{n^n}$$ So $$\log(B)={n^n}\log\left(1 + \frac{1}{n!}\right)\approx \frac {n^n}{n!}$$ Now, use Stirling approximation $$n!\approx {n^n}\sqrt{2\pi n}e^{-n}$$ So, $$\log(B)\approx \frac {n^n}{{n^n}\sqrt{2\pi n}e^{-n}}=\frac {e^n}{\sqrt{2\pi n}}$$ So, $\log (B) $ goes to $\infty$ and then $B$ to $\infty$.