¿Lo que ' s mal con este cálculo de logaritmo?

Question

Sabemos que $\displaystyle\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$.

Considere lo siguiente:

$$\displaystyle\ln(1)=\displaystyle\ln((-1)\times(-1))=\displaystyle\ln(-1)+\displaystyle\ln(-1) $$

$\displaystyle\ln(1) $ es totalmente una afirmación válida, pero no estoy seguro de si $\displaystyle\ln(-1)+\displaystyle\ln(-1) $ es.

$\displaystyle\ln(-1) $ no existe, sino $\displaystyle\ln((-1)\times(-1)) $ hace, y si puedo conectar $\displaystyle\ln((-1)\times(-1)) $ en mi calculadora le da un 0 como la respuesta (lo cual es correcto), pero si puedo conectar en $\displaystyle\ln(-1)+\displaystyle\ln(-1) $ dice que hay un error de dominio (que no existe). Así que mi pregunta es, ¿qué está mal con el resaltado de la ecuación?

Answer 1

$$\displaystyle\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$

La identidad anterior es sólo para $x,y>0$ y $a\not =1$, $a>0$.

Answer 2

Es una especie de verdad si permitimos que los números complejos a venir en:

$$\log_a(1)=\frac{\ln(1)}{\ln(a)}=\frac{\pm2\pi ik}{\ln(a)}$$

$$\log_a(-1)=\frac{\ln(-1)}{\ln(a)}=\frac{\pm\pi i(2k-1)}{\ln(a)}$$

$$k=0,1,2,3,\dots$$

Así que es un tipo de verdad que $\log(1)=2\log(-1)$, pero esto sólo depende de lo que está permitido.

$$2\log_a(-1)=\frac{\pm\pi i(4k-2)}{\ln(a)}$$

Estamos tratando de hacer las dos iguales, por lo que debemos tener:

$$2k=4n-2,n=0,1,2,3,\dots$$

Utilizamos $n$ en esta etapa ya que el $\log_a(1)$ $\log_a(-1)$ no tiene que depender de la misma constante, se podría fácilmente ser $k=1$ $n=1$ o $k=3$$n=2$.

De hecho, ahora hay una cantidad infinita de soluciones, muchas de las cuales coinciden juntos.

Sin embargo, todas las soluciones a $2\log_a(-1)$ no coinciden con todas las soluciones en $\log_a(1)$, en realidad, que sólo coincide con la mitad de las soluciones.

Así que, como he dicho, sólo depende de cómo se mire.

Answer 3

Básicamente, una vez que usted va a tomar el logaritmo de números negativos, y por lo tanto obtener resultados complejos, que están en el reino de las multi-funciones con valores. Cf. $arcsin(\theta)$ etc. De Euler de identidad dice $exp(i\pi) = -1$, Pero también, por ejemplo, $exp(-i\pi) = -1$. Así que tomando logaritmos de ambos lados, obtenemos $log(-1) = (2n - 1)i\pi$ para cualquier valor entero de n, y efectivamente es por convención que tomamos $n = 0$ para obtener el valor principal de la función de registro..

A continuación, el efecto de la escritura $log(1) = log(-1) + log(-1)$ sencillamente equivale a: $$0 = (2m - 1)i\pi + (2n - 1)i\pi$$which reduces to choosing m, n such that $m + n = 1$.

Este es el mismo orden de la paradoja como diciendo $\sqrt4 = 2$$\sqrt4 = -2$. Por convención, tomamos el director (positivo) valor en todo; pero hay circunstancias donde tenemos que romper el convenio de obtener un razonable resultado.