Dadas $$\sum\limits_{n=1}^\mathbb{∞}\frac1{ne^{nx}}$$ why does this series not converge uniformly for $x $ in $(0,∞) $ but converges uniformly for $x $ in $ [
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En el intervalo $[\delta,+\infty)$ tenemos
$$\sup_{x\ge\delta}\frac1{ne^{nx}}\le \frac{1}{ne^{n\delta}}=:a_n$ $ y el $\sum a_n$ de la serie es convergente por lo que tenemos la convergencia uniforme de la serie dada en este intervalo.
Y en el intervalo $(0,\infty)$ no la convergencia uniforme. En realidad
$$\sup_{x>0}\left\{\sum_{n=N+1}^\infty\frac1{ne^{nx}}\right\}\ge\sup_{x>0}\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{1}{ne^{nx}}=\sum_{n=N+1}^{2N}\frac1n\ge N\frac1{2N}=\frac12\not\xrightarrow{N\to\infty}0$$
Renan
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Sugerencia. Uno tiene $$ \sup_{x \in (0, \infty)} \:\sum\limits_ {n = 1} ^ N\frac {e ^ {-nx}} {n} = \sum\limits_ {n = 1} ^ N\frac {1} {n} $$ which tends to $\infty$ as $N \to \infty$, whereas for $\delta > 0 \sup_{x \in $ $$ [\delta,\infty)}\:\sum\limits_{n=1}^N\frac{e^{-nx}}{n}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{e^{-n\delta}}{n} $$ which converges as $n # \to \infty$.
wajiw
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Anthony Shaw
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Supongamos $x\le\frac1n$, luego $$ \begin{align} \sum_{k=n}^\infty\frac1{ke^{kx}} &\ge\sum_{k=n}^{2n}\frac1{ke^{kx}}\\ &\ge\sum_{k=n}^{2n}\frac1{ke^2}\\ &\ge\frac{\log(2)}{e^2} \end{align} $$ Por lo tanto, hay un $\epsilon\gt0$, es decir,$\frac{\log(2)}{e^2}$, de forma que para cualquier $n$, podemos encontrar una $x\gt0$, es decir,$\frac1n$, por lo que $$ \sum_{k=n}^\infty\frac1{ke^{kx}}\ge\epsilon $$
Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{ke^{kx}} $$ no converge uniformemente en $(0,\infty)$.
Para todos los $x\ge\delta$, $$ \begin{align} \sum_{k=n}^\infty\frac1{ke^{kx}} &\le\sum_{k=n}^\infty\frac1{ke^{k\delta}}\\ &=\frac1n\frac{e^{-n\delta}}{1-e^{-\delta}} \end{align} $$ y $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\frac{e^{-n\delta}}{1-e^{-\delta}}=0 $$
Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{ke^{kx}} $$ converge uniformemente para $x\ge\delta$.
