Diferencia de dos variables aleatorias binomiales

Question

Podría alguien orientarme a un documento donde obtienen la distribución de la diferencia entre dos variables aleatorias binomiales. Así $X \sim \mathrm{Bin}(n_1, p_1)$ y $Y \sim \mathrm{Bin}(n_2, p_2)$, cuál es la distribución de los $|X-Y|$.

Gracias.

(También $X$ y $Y$ son independientes)

Answer 1

Me puede dar una respuesta para el pmf de X-Y. a partir De allí |X - Y| es sencillo.

Así que empezamos con

$X \sim Bin(n_1, p_1)$

$Y \sim Bin(n_2, p_2)$

Estamos buscando la función de masa de probabilidad de $Z=X-Y$

En primer lugar observamos que el mínimo y el máximo del apoyo de Z debe ser $(-n_2, n_1)$ desde que cubre la mayoría de los casos extremos ( $X=0$ $Y=n_2$ ) y ( $X=n_1$ $Y=0$ ).

Entonces necesitamos una modificación de la binomial pmf para que pueda hacer frente con valores fuera de los límites de su apoyo.

$m(k, n, p) = \binom {n} {k} p^k (1-p)^{n-k}$ al $k \leq n$ y 0 en caso contrario.

Entonces tenemos que definir dos casos

1. $Z \geq 0$
2. $Z \lt 0$

En el primer caso

$p(z) = \sum_{i=0}^{n_1} m(i+z, n_1, p_1) m(i, n_2, p_2)$

ya que este cubre todas las formas en que X-Y podría igualdad de z. Por ejemplo, cuando z=1 esto se alcanza cuando X=1 y Y=0 y X=2 y Y=1 y X=3 y Y=4 y así sucesivamente. También se ocupa de los casos que no podría suceder debido a que los valores de$n_1$$n_2$. Por ejemplo, si $n_2 = 4$, entonces no podemos obtener Z=1 como una combinación de X=4 y Y=5. En este caso gracias a nuestro modificado binomio pmf la probabilidad es cero.

Para el segundo caso que acabamos de invertir los roles. Por ejemplo, si z=-1, entonces este se alcanza cuando X=0 y Y=1, X=1 y Y=2, etc.

$p(z) = \sum_{i=0}^{n_2} m(i, n_1, p_1) m(i+z, n_2, p_2)$

Póngalos juntos y que su pmf.

$f(z)= \begin{cases} \sum_{i=0}^{n_1} m(i+z, n_1, p_1) m(i, n_2, p_2),& \text{if } z\geq 0\\ \sum_{i=0}^{n_2} m(i, n_1, p_1) m(i+z, n_2, p_2), & \text{otherwise} \end{casos}$

Aquí está la función en R y una simulación para comprobar que es correcto (y funciona.)

https://gist.github.com/coppeliaMLA/9681819

Answer 2

Dudo que hay un nombre especial para la distribución en general. Hay un caso especial de interés: $p_1 = 1 - p_2$. Tenga en cuenta que $n_2 - Y \sim {\text Bin}(n_2, 1-p_2)$ y en este caso especial $X - Y + n_2 \sim {\text Bin}(n_1 + n_2, p_1)$.

Answer 3

Esta pregunta es más difícil de lo que parece. Para resolver esto, voy a utilizar aquí una combinación de ambos manual de métodos y automatizado de los métodos, en particular de álgebra computacional herramientas [la mathStatica paquete (de la cual soy autor) para Mathematica y el último en sí mismo].

Si me puede cambiar la notación ligeramente:

El Problema

Vamos $X_1$ ~ $Binomial(n,p)$ y $X_2$ ~ $Binomial(m,q)$ ser independiente.

Encontrar el pmf de $|X_1-X_2|$

Dado: Debido a la independencia, la articulación pmf de $(X_1, X_2)$, decir $f(x_1,x_2)$, es:

Solución

Deje $Y=X_1-X_2$$Z=X_2$. Entonces, la articulación pmf de $(Y,Z)$, decir $g(y,z)$, es:

donde Transform es mathStatica función que se deriva de la articulación pmf utilizando el Método de las Transformaciones. Derivando el dominio de apoyo de $Y$ $Z$ es un poco más complicado. Para hacer las cosas más claras, aquí es áspero de un gráco que ilustra la (suavizada continua de la versión de) el dominio de apoyo:

Esto sugiere dos casos:

• Caso 1: Cuando $y \ge 0$: $0 \le z \le n-y$

• Caso 2: Cuando $y < 0$: $-y \le z \le m$

La densidad de $Y=X_1-X_2$ se obtiene sumando a cabo $Z$ en cada parte del dominio:

Finalmente, para encontrar el pmf de $|Y|$, el pmf estrictamente positivos valores serán:

y al $Y=0$:

Resumen

El pmf de $|X_1-X_2|$, decir $\phi(y)$ es:

con el dominio de apoyo $Y$ = {0, 1, ..., max$(m,n)$}.

Todo hecho.

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Monte Carlo de verificación

Siempre es una buena idea para comprobar el trabajo utilizando métodos de Monte Carlo. Aquí, por ejemplo, son 100.000 pseudo-aleatoria de los dibujos de cada una de las $X_1$$X_2$, dado que algunos parámetros supuestos:

x1data = RandomVariate[BinomialDistribution[12, .1],  100000];
x2data = RandomVariate[BinomialDistribution[ 7, .9],  100000];

A continuación, comparar la distribución empírica de los $|X_1-X_2|$ (triángulos rojos) para el teórico de la densidad de $\phi(y)$ (puntos azules) derivada de la anterior, dado que el mismo parámetro supuestos:

Se ve bien :)