¿Qué es un "isomorfismo interna" entre los diferentes grupos?

Question

Es bien sabido que si $X$ es un camino conectado topológica del espacio que contiene los puntos de $x$$y$, el fundamental de los grupos de $\pi_1(X,x)$ $\pi_1(X,y)$ son isomorfos. Wikipedia hace el reclamo de que los dos grupos no sólo son idénticos hasta el isomorfismo pero "en realidad, incluso hasta el interior de isomorfismo".

¿Qué significa "interior isomorfismo" significa aquí? Yo sé lo interior automorphism es, pero aquí los elementos de los grupos son diferentes objetos (homotopy clases de trazados cerrados que comienzan y terminan en $x$, frente a ditto en $y$), por lo que automorfismos son, definitivamente, no está en la mesa.

La obvia isomorfismo(s) hace surgir mediante la fijación de un camino de $\alpha$ $y$ $x$y teniendo en cuenta el mapa $$[\gamma]\in\pi_1(X,x)\mapsto [\alpha+\gamma-\alpha]\in\pi_1(X,y)$$ que mira poco como la conjugación con $\alpha$ -, pero (a) $\alpha$ vive fuera de cada grupo, así que no estoy muy preparado para llamar a ese "interior", y (b) esto parece ser muy específica para el caso de los grupos fundamentales.

Es el comentario en Wikipedia tiene sentido, o es que hay un relevante significado técnico de "interior isomorfismo"? Google no parece descubrir.

Answer 1

La diferencia entre el "isomorfismo" y "hasta un único isomorfismo" es que en el primer caso el isomorfismo no está garantizada para ser único. En general, si $X, Y$ son dos isomorfo objetos, dos isomorphisms entre ellos se diferencian por un elemento de a $\text{Aut}(Y)$.

"Hasta el interior de isomorfismo" puede entonces ser interpretado como la siguiente (aunque creo que es una extraña manera de decirlo). El único "significativa" isomorphisms fundamental entre los grupos en dos basepoints son los que surgen de los caminos entre basepoints. Dos isomorphisms no difieren por un elemento arbitrario de la automorphism grupo; de hecho son los que garantizan que difieren en el peor, un elemento arbitrario del interior automorphism grupo.

Aquí es cómo yo prefiero decir las cosas. Hay una muy familiarizado categoría de grupo y grupos de homomorphisms $\text{Grp}$ que todos sabemos y el amor, así como una muy familiarizado functor de punta espacios topológicos a esta categoría, a saber, el grupo fundamental de la functor.

También hay un 2-categoría de grupos que es tal vez menos familiar: es la categoría de grupos, grupo homomorphisms, y natural de las transformaciones entre el grupo homomorphisms considerado como functors entre categorías de objetos. De manera muy explícita, si $G, H$ son los dos grupos que, a continuación, un 2-morfismos entre dos morfismos $f, g : G \to H$ es un elemento $h \in H$ tal que $f(x) = h g(x) h^{-1}$.

Este 2-categoría tiene un homotopy categoría $\text{Ho}(\text{Grp})$ que no la categoría de grupo y grupos de homomorphisms; es la categoría de grupos y clases conjugacy de grupo homomorphisms. Ahora la demanda es que

El grupo fundamental de la functor, visto como un functor en la trayectoria-conectado, pero unpointed espacios, naturalmente toma valores en $\text{Ho}(\text{Grp})$.

De hecho, $\text{Ho}(\text{Grp})$ es equivalente a la homotopy categoría de la clasificación de los espacios de $BG$ donde $G$ es discreto, y por encima de la functor restringe a tal equivalencia. El 2-categoría de grupos es a su vez equivalente a la homotopy 2-categoría de la clasificación de los espacios de $BG$, continua mapas entre ellos, y homotopy clases de homotopies entre ellos. El ordinario de la categoría de grupos es el homotopy categoría de punta clasificación de los espacios.

El remate es que usted puede hacer sentido de lo que es un "grupo de interior isomorfismo": es un objeto en $\text{Ho}(\text{Grp})$. Muchos grupos en la naturaleza son, en realidad, sólo grupos de hasta el interior de isomorfismo en este sentido, tales como la absoluta grupo de Galois de un campo. (Para hacer un grupo, usted necesita escoger un "punto de base," o, equivalentemente, algebraica de cierre.) Esta es una manera de hacer preciso el común de la intuición en la teoría de los números que, en cierto sentido, la única información relevante que se puede extraer de grupos de Galois es conjugacy-invariante de la información, por ejemplo, los caracteres de las representaciones.

Por ejemplo, "conjunto subyacente" no define un functor $\text{Ho}(\text{Grp}) \to \text{Set}$. Una aproximación es el functor $\text{Hom}(\mathbb{Z}, -)$, que devuelve el conjugacy clases.

Answer 2

Esto puede ser enunciada de una manera más rigurosa. En particular, para cualquiera de los dos homotopy clases de $[q], [p]$ $x$ $y$(es decir, comienzan a $x$ y final en $y$), que inducen la isomorphisms en el grupo fundamental. Es decir, si $\ell$ es un bucle en $x$, $p^{-1}\ell p$ es un bucle en $y$. (De manera similar para $q$).

Podemos relacionar el isomorphisms de la siguiente manera.

$$ [p^{-1} \ell p] = [p^{-1} q q^{-1} \ell q q^{-1} q p] = [p^{-1}q][q^{-1}\ell q][p^{-1}q]^{-1},$$ pero donde ahora vemos que $[p^{-1}q]$ es un bucle, y también lo es en el grupo. Así que en realidad son de la misma hasta la conjugación por un elemento del grupo, y por lo tanto interior automorphism.

Answer 3

Deje $G$ ser cualquier groupoid. Hay un ${\rm Aut}$ functor $G\to{\rm Grp}$, por lo que cualquier flecha $x\to y$ induce un isomorfismo ${\rm Aut}(x)\to{\rm Aut}(y)$. Por supuesto, existen pares de grupo homomorphisms

$$\phi:{\rm Aut}(x)\to {\rm Aut}(y) \\ \psi:{\rm Aut}(y)\to{\rm Aut}(x)$$

tal que $\psi\circ\phi\not\in{\rm Inn}({\rm Aut}(x))$ o $\phi\circ\psi\not\in{\rm Inn}({\rm Aut}(y))$ en general, pero si $\phi$ $\psi$ son imágenes de morfismos $x\to y$ $y\to x$ (respectivamente) en $G$ $\psi\circ\phi$ $\phi\circ\psi$ son tanto interior.

Creo que la de arriba es la idea detrás de "interior" isomorphisms. (Tal vez se podría generalizar a cualquier colección de isomorphisms de los grupos, de tal manera que cualquier automorphism compuesta a partir de ellos es la interior.) Aquí estamos aplicando esta idea a la fundamental groupoid $\Pi(X)$, que es una categoría cuyos objetos son los puntos de $x\in X$ y cuyos morfismos son homotopy clases de caminos $x\to y$.

Answer 4

"isomorfismo interior" no tiene ningún significado acordado y no creo que sea un término útil para utilizar en el artículo de wikipedia. Un automorphism interno $f: G \rightarrow G$ de un grupo es el que es dado por la conjugación por un elemento del grupo ($f(x) = g^{-1}xg$, para un elemento $g$ $G$).