Serie infinita $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\arctan(\frac{1}{F_{2n+1}})$

Question

¿Cómo puedo encontrar el valor de la siguiente suma? $$\sum_{n=0}^{\infty}\arctan(\frac{1}{F_{2n+1}})$$ $F_n$ es el número de Fibonacci.( $F_1=F_2=1$ )

Answer 1

De acuerdo, vamos a denotar por $a_n$ este número complejo: $$a_n = (F_1 + i)(F_3 + i)\ldots(F_{2n-1} + i).$$ Afirmo que por cada $n \geq 1$ tenemos $a_n = C \cdot (1 + F_{2n} i)$ , donde $C$ es un número real positivo (que depende de $n$ ).

Demostremos esto por inducción. Para $n = 1$ tenemos $$a_1 = F_1 + i = 1 + i = 1 + F_2 i.$$

Ahora la transición. Supongamos que hemos demostrado que $a_n = C(1 + F_{2n}i)$ , donde $C$ es un real positivo. Entonces $$ a_{n+1} = a_n (F_{2n+1} + i) = C (1 + F_{2n}i)(F_{2n+1} + i) = C(F_{2n+1}-F_{2n} + i\cdot(F_{2n} F_{2n+1} + 1)). $$ Ahora, a partir de las igualdades en wikipedia es fácil deducir que $F_{2n}F_{2n+1} + 1 = F_{2n-1}F_{2n+2}$ . Entonces tenemos $$ a_{n+1} = CF_{2n-1}(1 + F_{2n+2}i). $$ $CF_{2n-1}$ es un número real positivo, por lo que esto completa la prueba.

Ahora estamos preparados para demostrar que su suma infinita es igual a $\pi/2$ . Si observamos la suma parcial, encontramos fácilmente que $$ \sum_{n=0}^{k}\arctan(\frac{1}{F_{2n+1}}) = \sum_{n=0}^{k}\arg (F_{2n+1} + i) = \arg a_{k+1} = \arctan(F_{2k + 2}). $$ Como $k$ tiende a $+\infty$ , $F_{2k+2}$ también tiende a $+\infty$ y su $\arctan$ tiende a $\pi/2$ . Así que la respuesta es $\pi/2$ .

Answer 2

Podemos demostrar por inducción que $$ \sum_{n=0}^k\arctan\frac1{F_{2n+1}}=\arctan F_{2k+2}. $$ El caso base $k=0$ es inmediato, porque $F_1=F_2=1$ .

OTOH por hipótesis de inducción $$ \sum_{n=0}^{k+1}\arctan\frac1{F_{2n+1}}=\arctan F_{2k+2}+\arctan\frac1{F_{2k+3}}. $$ Se deduce de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos (¡cuidado con el desbordamiento!) $$ \arctan x+\arctan y\equiv \arctan\frac{x+y}{1-xy}\pmod\pi. $$ Aquí $x=F_{2k+2}$ , $y=1/F_{2k+3}$ y por lo tanto $$ \begin{aligned} \frac{x+y}{1-xy}&=\frac{F_{2k+2}F_{2k+3}+1}{F_{2k+3}-F_{2k+2}}\\ &=\frac{F_{2k+2}F_{2k+3}+1}{F_{2k+1}}=F_{2k+4} \end{aligned} $$ por la identidad $F_{2k+4}F_{2k+1}=1+F_{2k+2}F_{2k+3}$ completando nuestro paso de inducción (ver el enlace dado por Dan Shved o demostrar esta identidad por inducción).

Como $F_n\to\infty$ se deduce que el límite es $\pi/2$ .