Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Llama a $S\subseteq X$ un $\mathcal{O}$ -si existe un conjunto abierto $O$ tal que $O\subseteq S \subseteq \overline{O}$ . Supongamos que $X$ es compacto. ¿Es cierto que cualquier cobertura de $X$ por $\mathcal{O}$ -tiene una subcubierta finita?
Intuitivamente parece que debería ser cierto para $X \subseteq \mathbb{R}$ pero no estoy seguro de si esto se basa en alguna otra propiedad topológica de los reales.
Debajo del pliegue he incluido algunos antecedentes de por qué haría esa pregunta, si te interesa.
Antecedentes : aquí En Reddit, un usuario publicó una interpretación de la compacidad basada en la paradoja de Zenón: los "pasos" que da el corredor se consideran conjuntos abiertos, y una "pista de carreras" compacta implica que la carrera debe completarse en un tiempo finito si la función de velocidad es continua. Me pregunté: ¿por qué los conjuntos abiertos son la forma correcta de ver los pasos? Entonces me puse a pensar que el hecho de que un conjunto no esté vacío y sea abierto es una forma de garantizar que realmente representa un "trozo" del espacio... no sólo un punto, o un subespacio de menor dimensión (si fuera un espacio vectorial). Pero aún así, ¿por qué abierto? Preferiría tener la libertad de considerar el "paso" como cualquier conjunto que contenga un conjunto abierto, pero contenido en su cierre. Si esto es posible, entonces queda claro que esto es válido para cualquier interpretación razonable de un "paso".
