Resolver

Question

Resolver $x$
$$\lfloor{x}\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor16x\rfloor+\lfloor32x\rfloor=12345$$

He probado a meter $x$ $I$ = $f$ $I$ siendo parte entera y $f$ es la parte fraccionaria pero eso no funciona.

Answer 1

$y-1 < \lfloor y \rfloor \leq y$ Llegar

$$x+2x+4x+16x+32x -5< \lfloor{x}\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor16x\rfloor+\lfloor32x\rfloor \\ \leq x+2x+4x+16x +32 x$$

Por lo tanto

$$55x-5 < 12345 \leq 55x$$

o

$$11x-1 < 2469 \leq 11x$$

Esto implica

$$ 224.\bar{45} \leq x \leq 224.\bar{54}$$

Ahora todo lo que necesitas es ver los intervalos $2x, 4x, 16x, 32x$ y ver cuantas opciones tienes para cada uno.

Answer 2

Que %#% $ #%

En un cálculo real $$f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 4x\rfloor+\lfloor 16x\rfloor+\lfloor 32x\rfloor\;.$ y $f(224)=55\cdot224=12320$. Supongamos que $f(224.5)=12347$, decir $224<x<224.5$. Entonces

$$\begin{align*} f(x)&=224+\lfloor 449-2\epsilon\rfloor+\lfloor 898-4\epsilon\rfloor+\lfloor 3592-16\epsilon\rfloor+\lfloor 7184-32\epsilon\rfloor\\ &=(224+449+898+3592+7184)+\lfloor-2\epsilon\rfloor+\lfloor-4\epsilon\rfloor+\lfloor-16\epsilon\rfloor+\lfloor-32\epsilon\rfloor\\ &=12347+\lfloor-2\epsilon\rfloor+\lfloor-4\epsilon\rfloor+\lfloor-16\epsilon\rfloor+\lfloor-32\epsilon\rfloor\\ &\le 12343\;, \end{align*} $$

desde $x=224.5-\epsilon$ $\lfloor -k\epsilon\rfloor\le-1$. Así, el $k>0$ de la ecuación no tiene solución.

Answer 3

No no enteros, racionales o reales son los números que se necesitan para resolver esto.

Escribir $i=\lfloor x\rfloor$ la parte integral, y $f=x-i$, la parte fraccionaria de $x$. Desde $\lfloor nx\rfloor=ni+\lfloor nf\rfloor$, el contibutions de $i$ $f$ a mano izquierda puede ser separado, y se $(1+2+4+16+32)n=55n$ $\lfloor 2f\rfloor+\lfloor 4f\rfloor+\lfloor 16f\rfloor+\lfloor 32f\rfloor$ respectivamente (uno ha $\lfloor 1f\rfloor=0$). Puesto que el último es siempre menor que$~54$ (en realidad es en la mayoría de las$~50$), es claro que $i=12345\div55=224$ es una condición necesaria para que una solución (donde la división entera está escrito como $a\div b=\lfloor a/b\rfloor$), y lo que queda es $\lfloor 2f\rfloor+\lfloor 4f\rfloor+\lfloor 16f\rfloor+\lfloor 32f\rfloor=12345\bmod 55 = 25$.

Ahora poner a $m=\lfloor 32f\rfloor$, esto puede ser escrito como $$ m\div16+m\div8+m\div2+m=25.\tag1 $$ Escrito el entero $m$ base$~2$, cinco bits suficiente ya que $m<32$. Cada posición de bit tiene una contribución a (1) a partir de la división entera por una potencia de$~2$ es un derecho-cambio en los bits, dejando caer el menos significativo. Las contribuciones de los bits, al igual a$~1$, se $1+2+8+16=27$ para el bit en la posición$~4$ (la que representa a $2^4=16$), $27\div2=13$ para el bit en la posición$~3$, y respectivamente $13\div2=6$, $6\div2=3$ y $3\div2=1$ para el resto de posiciones $2,1,0$. Ahora claramente $27$ es demasiado para alcanzar la $25$, pero la suma de $13+6+3+1=23$ restante de los posibles contribuciones es demasiado poco. Por lo $(1)$ no tiene (entero) soluciones para $m$, y que no hay soluciones a este problema.

Uno puede fácilmente deducir, a partir de este un método general para resolver este tipo de problemas, utilizando sólo la aritmética de enteros, siempre que el entero de los factores de$~n$ en los términos de $\lfloor nx\rfloor$ cada división de su sucesor. Si son todos los poderes de una base fija$~b$ como es el caso aquí, uno expresa $m$ base$~b$ y todo funciona como antes. Para el caso general, se necesita un mixto-radix representación de$~m$, elegido de tal manera que cada posición de dígito contribuye a una secuencia de términos en la ecuación correspondiente a$~(1)$. Por ejemplo, para resolver $$ m\div105+m\div15+m\div5+m=444,\tag2 $$ uno elige mixto radix con los valores del lugar de $1,5,15,105$ donde $m=105d+15c+5b+a$ con $a<5$, $b<3$, $c<7$ contribuye $134d+19c+6d+a$. Los coeficientes se calcularon como de derecha a izquierda como $$\begin{align} 1/1&=1,\\5/1+5/1=1+5&=6=3\times1+1,\\15/15+15/5+15/1=1+3+15&=19=3\times6+1\\ 105/105+105/15+105/5+105/1=1+7+21+105&=134=7\times19+1.\end{align} $$ Un algoritmo voraz resuelve el problema de la mochila con $d=3,c=2,b=0,a=4$ $(2)$ tiene la solución única $m=349$.