Esta pregunta es fantástico! No he encontrado una integral de mostrar la simetría pero quería mostrar que apunta a una simetría de la Lerch zeta función, si a esto se le conoce, a continuación, tal vez eso podría explicar la simetría, si es que no se conoce es muy interesante, creo.
De % # % # % @Sasha:
$$\begin{align}
f(\alpha,\beta) = \int_0^1 \frac{x^\alpha + x^{-\alpha}}{1+x 2 \cos(\pi \beta) + x^2} \mathrm{d} x \etiqueta{1}\\
\end{align}
$$
El integrando es comparable a la generación de la función de los polinomios de Chebyshev de la segunda clase y, de hecho:
$$
\begin{align}
{\frac {{x}^{\alpha}+{x}^{-\alpha}} a{1+2\,x\cos \left( \pi \,\beta
\right) +{x}^{2}}}&=\suma de _{n=0}^{\infty }U_n \left( -
\cos \left( \pi \,\beta \right) \right) \left( {x}^{n+\alpha}+{x}^{n
-\alpha} \right) \etiqueta{2}\\
\end{align}
$$
y el polinomio de Chebyshev de la segunda clase satsifies:
$$U_n \left( -\cos \left( \pi \,\beta \right)\right)={\frac { \left( -1 \right) ^{n}\sin \left( \left( 1+n \right) \pi \,
\beta \right) }{\sin \left( \pi \,\beta \right) }} \etiqueta{3}
$$
así que después de usar $(1)$ y la conmutación de la integración y la suma de fin de obtener una serie de Fourier:
$$
\begin{align}
f(\alpha,\beta)&=\frac{1}{\sin \left( \pi \,\beta \right)} \sum _{n=0}^{\infty }\left( -1 \right) ^{n}\sin \left( \left( 1+n \right) \pi \,
\beta \right) \left( \dfrac{1}{1+n+\alpha }+
\dfrac{1}{1+n-\alpha } \right)\etiqueta{4}\\
y=-\frac{1}{\sin \left( \pi \,\beta \right)} \sum _{n=-\infty\,(n\ne0)}^{\infty } \dfrac{\left( -1 \right) ^{n}\sin \left( n \pi \,
\beta \right)}{n+\alpha } \\
y=-\frac{1}{\sin \left( \pi \,\beta \right)} \mathfrak{I}\left[ \sum _{n=1}^{\infty }\left( -1 \right) ^{n}e^{i n\pi
\beta } \left( \dfrac{1}{n+\alpha }+
\dfrac{1}{n-\alpha } \right)\right]\\
y=-\frac{1}{\sin \left( \pi \,\beta \right)} \mathfrak{I}\left[\Phi(-e^{i \pi
\beta },1,\alpha)+\Phi(-e^{i \pi
\beta },1,-\alpha)\right]\\
y=-\frac{1}{\sin \left( \pi \,\beta \right)} \mathfrak{I}\left[\Phi_{+}(-e^{i \pi
\beta },1,\alpha)\right]\quad:\quad(n=-\infty..+\infty,n\ne 0)\\
y=-\frac{1}{\sin \left( \pi \,\beta \right)} \mathfrak{I}\left[L\left(\frac{\beta+1}{2},\alpha,1\right)+L\left(\frac{\beta+1}{2},-\alpha,1\right)\right]\\
y=-\frac{1}{\sin \left( \pi \,\beta \right)} \mathfrak{I}\left[L_{+}\left(\frac{\beta+1}{2},\alpha,1\right)\right]\\
y=-\frac{1}{2\sin \left( \pi \,\beta \right)}\left[L_{+}\left(\frac{\beta+1}{2},\alpha,1\right)-L_{+}\left(\frac{\beta+1}{2},-\alpha,1\right)\right]
\end{align}$$
donde $(2,3)$ in $(1)$. Yo no han encontrado que la simetría de la Lerch zeta función en línea.
Esta serie junto con la anterior demostración de que:
$L$ is the Lerch zeta function and $\Phi$ the Lerch transcendant. I can't believe this Fourier series is invariant under $\alpha \leftrightarrow \beta$
mostrar de inmediato que los siguientes casos especiales sostener que son interesantes en su propio derecho:
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}\pecado
\left( \pi \,xn \right) }{x n}}={\frac {\pi\sin \left( \pi{x}^{
2} \right) }{\sin \left( \pi x \right) }}\etiqueta{6}$$
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}\cos
\left( \pi \,xn \right) }{1- \left( n+x \right) ^{2}}}=\pi\pecado
\left( \pi {x}^{2} \right)\etiqueta{7}$$
Ahora, de $$f(\alpha, \beta) = \pi \frac{ \sin(\pi\alpha \beta)}{\sin(\pi \alpha) \sin(\pi \beta)} \tag{5}$$, tenemos:
$(4)$ and $(5)$ and the variable change $\alpha=x,\, \beta=2y-1$, with $-1<x<1,\,0\le y<1$
donde reconocemos la trigonométricas plazo, ya que el Kernel de Dirichlet (con $$L_{+}(y,x,1)=-L_{+}(y,-x,1)-2\pi i\dfrac{\sin(2\pi x(y-\frac{1}{2})}{\sin(x)} \tag{8}$$ variable:
$$L_{+}(y,x,k)=\left( -1 \right) ^{k-1}L_{+}(y,-x,k) -2\pi i \dfrac{
\left( -1 \right) ^{k-1}}{(k-1)!}{\frac {\partial ^{k-1}}{\partial {x}^{k-1}}}
{\frac {\sin \left( 2\pi x \left( y-\frac{1}{2} \right) \right) }
{\sin \left( \pi x \right) }} \etiqueta{9}$$
donde el orden se vuelve $x\rightarrow2x$ and for $y$ generalised to non-integer). If we then use differentiation with respect to $x$ as a raising operator we obtain the reflection formula in the $x$ desde la simple diferenciación de la definición de la función, y también de la siguiente manera desde la inversión de la suma de la orden en la definición de la función que:
$k$
y por lo $$L_{+}(y,x,k)=\sum_{n=-\infty (n\ne0)}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi in y}}{(n+x)^k}=(-1)^k L_{+}(-y,-x,k)\tag{10}$$:
$$L_{+}(y,x,k)=L_{+}(-y,x,k) -2\pi i \dfrac{
\left( -1 \right) ^{k-1}}{(k-1)!}{\frac {\partial ^{k-1}}{\partial {x}^{k-1}}}
{\frac {\sin \left( 2\pi x \left( y-\frac{1}{2} \right) \right) }
{\sin \left( \pi x \right) }} \etiqueta{11}$$
o como una fórmula explícita para la parte imaginaria:
$$\mathfrak{I}\left(L_{+}(y,x,k)\right)= \pi\dfrac{
\left( -1 \right) ^{k-1}}{(k-1)!}{\frac {\partial ^{k-1}}{\partial {x}^{k-1}}}
{\frac {\sin \left( 2\pi x \left( y-\frac{1}{2} \right) \right) }
{\sin \left( \pi x \right) }} \etiqueta{11}$$
Como final de la aplicación, la evaluación de $(9)$ can also be viewed as a reflection formula in $y$ variable:
$$2\sum _{m=0}^{\infty }\left( -1 \right) ^{m}{\frac { B
\left( 2m+1,y \right) }{ \left( 2m+1 \right) !}}{x}^{2m}={
\frac {\sin \left( x \a la izquierda( y-\frac{1}{2} \right) \right) }{\sin \left(
\frac{x}{2} \right) }} \etiqueta{12}$$
Todavía no está más cerca a la visualización de la simetría como una integral, pero yo sólo quería mostrar algunas consecuencias interesantes de la simetría y la relación en sí. Además, si queremos preservar la simetría y generalizar la ecuación de $(9)$ and $(10)$ at $x=0$ and recognising that $(10)$ is then proportional to the Fourier series of the Bernoulli polynomials $B(m,y)$, we obtain the Taylor series for the Dirichlet kernel in the $x$.
