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Question

Deje $(A,1_A,|\cdot{}|)$ ser un unital álgebra de Banach, por ejemplo, $A=M_n(\Bbb R)$ o $M_n(\Bbb C)$. ¿Qué es la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas $B_{\|\cdot{}\|}$ donde $\|\cdot{}\|$ rangos sobre todo (topológicamente equivalente) normas que

1. son submultiplicative?
2. son el álgebra de Banach normas?

En un unital álgebra de Banach requerimos $|1_A|=1$ y submultiplicativity: para todos los $x,y$, $|xy|\leq|x||y|$. Cada norma puede ser reescalado a ser submultiplicative : supongamos $\|\cdot{}\|$ es una norma en $A$, ya que la multiplicación $A\times A\to A$ (bilineal) continua, existe $C>0$ tal que para todos los $x,y\in A,\|xy\|\leq C\|x\|\|y\|$, $\|\dot{}\|'=C\|\cdot\|$ es submultiplicative.

La motivación para esta pregunta viene de intentar entender el dominio donde las ecuaciones de la propuesta a continuación se mantenga así.

La proposición. Supongamos $|\cdot{}|$ es submultiplicative. A continuación, para todos los $x\in B_{|\cdot{}|}(1_A,1)$ $y\in B_{|\cdot{}|}(0_A,\ln 2)$ $$\exp(\ln(x))=x\quad\text{and}\quad \ln(\exp(y))=y\,.$$

El logaritmo es definido en $B_{|\cdot{}|}(1_A,1)$ por la convergencia de la serie $$\ln(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}(x-1_A)^n.$$ Este poder de la serie converge absolutamente en la unión de $\mathcal{O}$ de todos los abiertos bolas $B_{\|\cdot{}\|}(1_A,1)$ donde $\|\cdot{}\|$ es submultiplicative. Si definimos $\mathcal{U}$ como la unión de todos los $B_{\|\cdot{}\|}(0_A,\ln2)$, de nuevo, $\|\cdot{}\|$ es submultiplicative, a continuación, para todos los $x\in\mathcal{O}$ y todos los $y\in\mathcal{U}$, $$\exp(\ln(x))=x\quad\text{and}\quad \ln(\exp(y))=y\,.$$ Estos dominios son manifiestamente traducido y reescalado versiones de un especial conjunto abierto $$\mathcal S=\bigcup_{\|\cdot{}\|\text{ submultiplicative}} B_{\|\cdot{}\|}$$ También vamos a definir $\mathcal B\subset\mathcal S$ $$\mathcal B=\bigcup_{\|\cdot{}\|\text{ Banach algebra norm}} B_{\|\cdot{}\|}$$

Pregunta. Puede $\mathcal B,\mathcal S$ ser explícitamente descrito? Lo que sobre el caso donde $A$ es el álgebra de la plaza real o matrices complejas, además, el dominio que podemos obtener si se considera sólo a las subordinadas de la matriz de normas?

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EDIT. Con el fin de tener una oportunidad en la recompensa, es suficiente para responder a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es $\mathcal{S}$ por un álgebra de Banach?
2. ¿Qué es $\mathcal{B}$ por un álgebra de Banach?
3. ¿Qué es $\mathcal{S}$ (real o complejo) de la matriz álgebra?
4. ¿Qué es $\mathcal{B}$ (real o complejo) de la matriz álgebra?
5. ¿Qué es la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas para subordinadas de la matriz de normas?

Answer 1

Vamos a trabajar con $A=M_n(\mathbb{C})$. Considere la posibilidad de $x\in A$, luego

$\|x\|<1$ para algunos subordinadas de la matriz norma iff $\;\mathrm{Spec}(x)\subset D^{\circ}$

donde $D^{\circ}=\lbrace z\in\mathbb{C}\text{ s.t. }|z|<1\rbrace$ es la de abrir la unidad de disco.

De hecho, si $\|\cdot\|$ está subordinado a alguna norma $|\cdot|$$\mathbb{C}^n$, entonces para cualquier valor distinto de cero autovector $v$ $x$ con autovalor $\lambda$, $|\lambda||v|=|x(v)|\leq\| x\||v|$ y la implicación $(\Rightarrow)$ sigue.

Por otro lado, si $\mathrm{Spec}(x)\subset D^{\circ}$, e $\mathcal{E}=(e_1,\dots,e_n)$ es una base de $\mathbb C^n$ tal que $$\mathrm{Mat}(x\,;\mathcal{E})=\begin{pmatrix}\lambda_1&*&&*\\&\lambda_2\\&&\ddots&*\\&&&\lambda_n\end{pmatrix}$$ es triangular superior y superior ha coeficientes de $|*|<\epsilon$ donde $\max_i|\lambda_i|+\frac{n(n-1)}2\epsilon<1$ (tales bases siempre exsist por un argumento fácil), a continuación, un sencillo cálculo muestra que $\|x\|<1$ $\|\cdot\|$ la norma subordinada a la norma $|\cdot|$ $\mathbb{C}^n$ definido por $$\left|\sum_i v^ie_i\right|=\sum_i |v^i|$$

Así la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas de $M_n(\mathbb{C})$ de las subordinadas de la matriz de las normas es el conjunto de todas las matrices $x$$\mathrm{Spec}(x)\subset D^{\circ}$.