Deje (A,1A,|⋅|) ser un unital álgebra de Banach, por ejemplo, A=Mn(R) o Mn(C). ¿Qué es la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas B‖ donde \|\cdot{}\| rangos sobre todo (topológicamente equivalente) normas que
- son submultiplicative?
- son el álgebra de Banach normas?
En un unital álgebra de Banach requerimos |1_A|=1 y submultiplicativity: para todos los x,y, |xy|\leq|x||y|. Cada norma puede ser reescalado a ser submultiplicative : supongamos \|\cdot{}\| es una norma en A, ya que la multiplicación A\times A\to A (bilineal) continua, existe C>0 tal que para todos los x,y\in A,\|xy\|\leq C\|x\|\|y\|, \|\dot{}\|'=C\|\cdot\| es submultiplicative.
La motivación para esta pregunta viene de intentar entender el dominio donde las ecuaciones de la propuesta a continuación se mantenga así.
La proposición. Supongamos |\cdot{}| es submultiplicative. A continuación, para todos los x\in B_{|\cdot{}|}(1_A,1) y\in B_{|\cdot{}|}(0_A,\ln 2) \exp(\ln(x))=x\quad\text{and}\quad \ln(\exp(y))=y\,.
El logaritmo es definido en B_{|\cdot{}|}(1_A,1) por la convergencia de la serie \ln(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}(x-1_A)^n. Este poder de la serie converge absolutamente en la unión de \mathcal{O} de todos los abiertos bolas B_{\|\cdot{}\|}(1_A,1) donde \|\cdot{}\| es submultiplicative. Si definimos \mathcal{U} como la unión de todos los B_{\|\cdot{}\|}(0_A,\ln2), de nuevo, \|\cdot{}\| es submultiplicative, a continuación, para todos los x\in\mathcal{O} y todos los y\in\mathcal{U}, \exp(\ln(x))=x\quad\text{and}\quad \ln(\exp(y))=y\,. Estos dominios son manifiestamente traducido y reescalado versiones de un especial conjunto abierto \mathcal S=\bigcup_{\|\cdot{}\|\text{ submultiplicative}} B_{\|\cdot{}\|} También vamos a definir \mathcal B\subset\mathcal S \mathcal B=\bigcup_{\|\cdot{}\|\text{ Banach algebra norm}} B_{\|\cdot{}\|}
Pregunta. Puede \mathcal B,\mathcal S ser explícitamente descrito? Lo que sobre el caso donde A es el álgebra de la plaza real o matrices complejas, además, el dominio que podemos obtener si se considera sólo a las subordinadas de la matriz de normas?
EDIT. Con el fin de tener una oportunidad en la recompensa, es suficiente para responder a las siguientes preguntas:
- ¿Qué es \mathcal{S} por un álgebra de Banach?
- ¿Qué es \mathcal{B} por un álgebra de Banach?
- ¿Qué es \mathcal{S} (real o complejo) de la matriz álgebra?
- ¿Qué es \mathcal{B} (real o complejo) de la matriz álgebra?
- ¿Qué es la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas para subordinadas de la matriz de normas?