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, y

Deje (A,1A,||) ser un unital álgebra de Banach, por ejemplo, A=Mn(R) o Mn(C). ¿Qué es la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas B donde \|\cdot{}\| rangos sobre todo (topológicamente equivalente) normas que

  1. son submultiplicative?
  2. son el álgebra de Banach normas?

En un unital álgebra de Banach requerimos |1_A|=1 y submultiplicativity: para todos los x,y, |xy|\leq|x||y|. Cada norma puede ser reescalado a ser submultiplicative : supongamos \|\cdot{}\| es una norma en A, ya que la multiplicación A\times A\to A (bilineal) continua, existe C>0 tal que para todos los x,y\in A,\|xy\|\leq C\|x\|\|y\|, \|\dot{}\|'=C\|\cdot\| es submultiplicative.

La motivación para esta pregunta viene de intentar entender el dominio donde las ecuaciones de la propuesta a continuación se mantenga así.

La proposición. Supongamos |\cdot{}| es submultiplicative. A continuación, para todos los x\in B_{|\cdot{}|}(1_A,1) y\in B_{|\cdot{}|}(0_A,\ln 2) \exp(\ln(x))=x\quad\text{and}\quad \ln(\exp(y))=y\,.

El logaritmo es definido en B_{|\cdot{}|}(1_A,1) por la convergencia de la serie \ln(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}(x-1_A)^n. Este poder de la serie converge absolutamente en la unión de \mathcal{O} de todos los abiertos bolas B_{\|\cdot{}\|}(1_A,1) donde \|\cdot{}\| es submultiplicative. Si definimos \mathcal{U} como la unión de todos los B_{\|\cdot{}\|}(0_A,\ln2), de nuevo, \|\cdot{}\| es submultiplicative, a continuación, para todos los x\in\mathcal{O} y todos los y\in\mathcal{U}, \exp(\ln(x))=x\quad\text{and}\quad \ln(\exp(y))=y\,. Estos dominios son manifiestamente traducido y reescalado versiones de un especial conjunto abierto \mathcal S=\bigcup_{\|\cdot{}\|\text{ submultiplicative}} B_{\|\cdot{}\|} También vamos a definir \mathcal B\subset\mathcal S \mathcal B=\bigcup_{\|\cdot{}\|\text{ Banach algebra norm}} B_{\|\cdot{}\|}

Pregunta. Puede \mathcal B,\mathcal S ser explícitamente descrito? Lo que sobre el caso donde A es el álgebra de la plaza real o matrices complejas, además, el dominio que podemos obtener si se considera sólo a las subordinadas de la matriz de normas?


EDIT. Con el fin de tener una oportunidad en la recompensa, es suficiente para responder a las siguientes preguntas:

  1. ¿Qué es \mathcal{S} por un álgebra de Banach?
  2. ¿Qué es \mathcal{B} por un álgebra de Banach?
  3. ¿Qué es \mathcal{S} (real o complejo) de la matriz álgebra?
  4. ¿Qué es \mathcal{B} (real o complejo) de la matriz álgebra?
  5. ¿Qué es la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas para subordinadas de la matriz de normas?

2voto

Jared Puntos 21

Vamos a trabajar con A=M_n(\mathbb{C}). Considere la posibilidad de x\in A, luego

\|x\|<1 para algunos subordinadas de la matriz norma iff \;\mathrm{Spec}(x)\subset D^{\circ}

donde D^{\circ}=\lbrace z\in\mathbb{C}\text{ s.t. }|z|<1\rbrace es la de abrir la unidad de disco.

De hecho, si \|\cdot\| está subordinado a alguna norma |\cdot|\mathbb{C}^n, entonces para cualquier valor distinto de cero autovector v x con autovalor \lambda, |\lambda||v|=|x(v)|\leq\| x\||v| y la implicación (\Rightarrow) sigue.

Por otro lado, si \mathrm{Spec}(x)\subset D^{\circ}, e \mathcal{E}=(e_1,\dots,e_n) es una base de \mathbb C^n tal que \mathrm{Mat}(x\,;\mathcal{E})=\begin{pmatrix}\lambda_1&*&&*\\&\lambda_2\\&&\ddots&*\\&&&\lambda_n\end{pmatrix} es triangular superior y superior ha coeficientes de |*|<\epsilon donde \max_i|\lambda_i|+\frac{n(n-1)}2\epsilon<1 (tales bases siempre exsist por un argumento fácil), a continuación, un sencillo cálculo muestra que \|x\|<1 \|\cdot\| la norma subordinada a la norma |\cdot| \mathbb{C}^n definido por \left|\sum_i v^ie_i\right|=\sum_i |v^i|

Así la unión de todos los abiertos de la unidad de bolas de M_n(\mathbb{C}) de las subordinadas de la matriz de las normas es el conjunto de todas las matrices x\mathrm{Spec}(x)\subset D^{\circ}.

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