Deje $c_{k}(N;[a,b])$ denotar el número de composiciones de $N$ a $k$ partes, donde cada parte está restringida al intervalo de $[a,b]$, es decir, $N = \sum_{i = 1}^{k} s_{i}$$a \leq s_{i} \leq b$. La generación de la función de $c_{k}(N;[a,b])$ es \begin{align} G(c_{k}(N; [a,b]);t) = t^{ka} \left( \frac{1-t^{b-a+1}}{1-t} \right)^{k}, \end{align} Por lo tanto, $c_{k}(N;[a,b]) = [t^{N}] G(c_{k}(N; [a,b]);t)$.
Por ejemplo, si $N = 8$, $a = 1$, $b = 3$ y $k = 4$, luego \begin{align} c_{4}(8;[1,3]) = [t^{8}]t^{4} \left( \frac{1-t^{3}}{1-t} \right)^{4} = [t^{8}] (t^{4} + 4 t^{5} +10 t^{6} + 16 t^{7} + 19 t^{8}) = 19. \end{align} El diecinueve positivo composiciones de $8$ a $4$ partes no mayor de $3$ $2 + 2 + 2 + 2$, así como, $1 + 1 + 3 + 3$, $1 + 3 + 1 + 3$, $1 + 3 + 3 + 1$, $1 + 2 + 2 + 3$, $1 + 2 + 3 + 2$, $1 + 3 + 2 + 2$, $2 + 1 + 2 + 3$, $2 + 1 + 3 + 2$, $2 + 2 + 1 + 3$, $2 + 2 + 3 + 1$, $2 + 3 + 1 + 2$, $2 + 3 + 2 + 1$, $3 + 1 + 2 + 2$, $3 + 2 + 1 + 2$, $3 + 2 + 2 + 1$, $3 + 1 + 1 + 3$, $3 + 3 + 1 + 1$ y $3 + 1 + 3 + 1$.
¿Qué acerca de los productos de la generación de funciones? Por ejemplo, ¿qué combinatoria, se codifica la información en el siguiente: \begin{align} [t^{N}]t^{4} \left( \frac{1-t^{3}}{1-t} \right)^{4} t^{5} \left( \frac{1-t^{2}}{1-t} \right)^{3}, \end{align} donde $N$ es de nuevo un entero positivo?
De manera más general, hay una buena interpretación combinatoria de los siguientes coeficientes en términos de restricción de composiciones, \begin{align} [t^{N}]\prod_{i = 1}^{m} t^{\alpha_i} \left( \frac{1-t^{\beta_i}}{1-t^{\gamma_i}} \right)^{k_i}, \end{align} donde $\alpha_i, \beta_i, \gamma_i, m, N$ $k_i$ son enteros positivos? (NB: En general, el coeficiente será racional, pero uno puede agregar simple de las relaciones en los coeficientes $\beta_i, \gamma_i$ $k_i$ para garantizar la integralidad.)
