La homología de la unión disjunta es la suma directa de las homologías

Question

He escrito una prueba para lo siguiente y me gustaría que me corrigierais si he cometido algún error, gracias de antemano:

reclamar: $X = \sqcup_i X_i$ entonces $H_q (X) \cong \oplus_i H_q (X_i)$

prueba: Prueba del caso $X = A \sqcup B$ el caso general se deduce por inducción.

Por el teorema de Mayer-Vietoris la siguiente secuencia es exacta:

$$ \dots \xrightarrow{k_\ast} H_{n+1}(X) \xrightarrow{\partial_\ast} H_n(A \cap B) \xrightarrow{(i_\ast, j_\ast)} H_n(A) \oplus H_n(B) \xrightarrow{k_\ast} H_n(X)\xrightarrow{\partial_\ast} \dots$$

Entonces $A \cap B = \emptyset \implies H_n(A \cap B) = 0 \implies \partial_\ast = 0$

Entonces $k_\ast$ es inyectiva porque $ker k_\ast = im \partial_\ast = 0$ y $k_\ast $ es suryente porque $im k_\ast = ker \partial_\ast = H_n(X)$

Answer 1

¿No sería más fácil discutir así?

Desde $\Delta^n$ es conectado, entonces la imagen de todo mapa continuo $\sigma : \Delta^n \longrightarrow \bigsqcup_{\alpha \in J} X_\alpha$ debe estar contenida en algún $X_\alpha$ : $\sigma (\Delta^n) \subset X_\alpha$ .

No he comprobado los detalles, pero creo que esto diría que se puede encontrar una inversa al mapa universal

$$ \bigoplus_{\alpha \in J} H_p(X_\alpha) \longrightarrow H_p(\bigsqcup_{\alpha \in J} X_\alpha) $$

inducido por las inclusiones $X_\alpha \longrightarrow \bigsqcup_{\alpha \in J} X_\alpha$ . Y esto sería cierto para cualquier conjunto de índices $J$ .