202 votos

¿Cuántos lados tiene un círculo?

Mi hijo está en 2do grado. Su profesor de matemáticas dio a la clase un cuestionario, y una de las preguntas fue esta:

Si un triángulo tiene 3 lados, y un rectángulo tiene 4 lados, ¿cuántos lados tiene un círculo?

Mi primera reacción fue "0" o "indefinido". Pero mi hijo escribió "$\infty$", lo cual creo que es una respuesta razonable. Sin embargo, fue marcado como incorrecto con el comentario, "la respuesta es 1".

¿Existe una respuesta aceptada correcta en geometría?

edit: Me encontré con esta profesora recientemente y mencioné este problema del cuestionario. Ella dijo que creía que mi hijo había escrito "8". Ella no sabía que un "8" de lado significa infinito.

266 votos

Profesor ridículo, en mi opinión.

47 votos

Parece muy probable que el maestro no haya dejado claro lo que consideraban un "lado" y si el término es aplicable a los círculos.

34 votos

La pregunta está incompleta tal como se ha establecido. Decir que un triángulo tiene 3 lados y un rectángulo tiene 4 lados no es una buena definición de "lados". Esta es una pregunta bastante ridícula para estudiantes de segundo grado. La pregunta solo puede causar confusión y no tiene una respuesta definida basada en esta definición.

167voto

Matt Dawdy Puntos 5479

La respuesta depende de la definición de la palabra "lado". Creo que esta es una pregunta terrible (edición: para poner en una prueba) y es el tipo de cosa que hará que los niños odien las matemáticas. "Lado" es un término que realmente debería reservarse para los polígonos.

78 votos

No creo que la pregunta sea terrible en sí misma, pero hacerla sin darse cuenta de que hay argumentos a favor de $0$, $1$ y $\infty$ y marcar $\infty$ como incorrecto es catastrófico.

84 votos

O la interpretación más común de la pregunta, "2 lados, interior y exterior"

0 votos

Estoy un poco confundido. ¿Por qué un círculo no tiene infinitos lados? ¿Tiene infinitas tangentes, verdad?

136voto

Tim Howland Puntos 3650

Mi hijo de tercer grado llegó a casa hace unas semanas con preguntas de tareas similares:

¿Cuántas caras, aristas y vértices tienen los siguientes?

  • cubo
  • cilindro
  • cono
  • esfera

Como la mayoría de los matemáticos, mi primera reacción fue que para estos objetos la pregunta necesitaría una definición precisa de cara, arista y vértice, y realmente no tiene sentido sin tales definiciones.

Pero después de hablar sobre el problema con numerosas personas, llevando a cabo una especie de experimento social/matemático, observé algo intrigante. Lo que observé fue que ninguno de mis amigos y conocidos no matemáticos tuvo ningún problema en usar un concepto geométrico intuitivo aquí, y todos estuvieron completamente de acuerdo en que las respuestas deberían ser

  • cubo: 6 caras, 12 aristas, 8 vértices
  • cilindro: 3 caras, 2 aristas, 0 vértices
  • cono: 2 caras, 1 arista, 1 vértice
  • esfera: 1 cara, 0 aristas, 0 vértices

De hecho, estas fueron también las respuestas deseadas por el profesor de mi hijo (quien es un maestro verdaderamente excepcional). Mientras tanto, todos mis colegas matemáticos titubearon acerca de cómo realmente no podemos responder, y ¿qué significa "cara" en este contexto de todos modos, y así sucesivamente; la mayoría de ellos querían finalmente decir que una esfera tiene infinitas caras e infinitos vértices y así sucesivamente. Para la tarea, mi hijo escribió una explicación dando las respuestas anteriores, pero también explicando que había un sentido en el que algunas de las respuestas eran infinitas, dependiendo de lo que se quisiera decir.

En una fiesta el fin de semana pasado llena de matemáticos y filósofos, fue un juego divertido primero preguntarle a un matemático la pregunta, quien invariablemente hacía varias objeciones y se negaba y decía que no tenía sentido y así sucesivamente, y entonces la pareja no matemática daba una explicación completamente clara. Hubo muchas disputas amistosas al respecto esa noche.

Así que parece, evidentemente, que nuestra extensa formación matemática ha interferido con nuestra capacidad para entender fácilmente lo que los niños y no matemáticos encuentran ser un concepto geométrico claro y distinto.

(Mi punto de vista real, sin embargo, es que es nuestra formación la que nos ha enseñado que los conceptos no son tan claros y distintos, como lo demuestran numerosos casos límite y contraejemplos en la lucha histórica por encontrar las definiciones correctas para los teoremas de $V-E+F$ y otros.)

1 votos

Okay, entonces estos son "variedades con (variedades con límites) como límites", las caras describen las partes de la variedad, los bordes describen las partes de las variedades de los límites, y los vértices describen los límites de los límites. Eso está bien hasta cierto punto, pero no tener definiciones formales en esta situación simplemente hará que te resulte más difícil distinguir entre los diferentes tipos de caras y bordes implícitos en esos recuentos, y por consiguiente tendrás un momento más difícil descubriendo la fórmula de Euler. Lo que perdemos en nuestra capacidad para responder preguntas truculentas lo ganamos en la fórmula de Euler.

36 votos

"...nuestra extensa formación matemática ha interferido con nuestra capacidad de comprender fácilmente lo que los niños y los no matemáticos encuentran como un concepto claro...". - Creo que esto se aplica en gran medida a problemas como "encuentra el patrón (entero)" que se pueden encontrar en pruebas de cociente intelectual y similares. Los matemáticos afirman soluciones infinitas; ¡los no matemáticos en realidad dan una respuesta! Gracias por tu respuesta, por cierto.

18 votos

@The Chaz: ese es un mal ejemplo. Tu habilidad para responder este tipo de preguntas no está necesariamente relacionada con alguna medida objetiva de inteligencia: se correlaciona con estar familiarizado con ciertos ejemplos de tales preguntas y más generalmente con ser criado en una cultura donde existen tales preguntas. Cuando los matemáticos reaccionan negativamente al uso de tales preguntas, están reaccionando en parte a esta arbitrariedad (al menos yo lo estoy). Ser capaz de responder este tipo de preguntas indica que eres bueno anticipando qué tipo de respuestas quieren los creadores de la prueba, nada más y nada menos.

36voto

Owen Sizemore Puntos 3016

Sé que llego tarde a la fiesta, pero me sorprende que nadie haya mencionado esto. En la teoría de la convexidad, existe una noción llamada punto extremo que generaliza la noción de vértice (o esquina) de un polígono. Según esta definición, cada punto en un círculo es un punto extremo, por lo que tiene sentido decir que tiene infinitos (¡incontables!) vértices. Aunque la noción de lado no es tan buena. Si la definición es el segmento de recta que une dos vértices, entonces la respuesta sería 0 para el círculo.

6 votos

Tenía mis votos negativos listos, esperando la charlatanería habitual de alguien que desentierra una pregunta antigua, pero gran respuesta.

25voto

Anthony Shaw Puntos 858

Esto es en referencia a la respuesta de Douglas Stones, pero las imágenes no pueden ser incrustadas en los comentarios. Los límites de los lados pueden tener un ángulo recto, como estos octógonos convergiendo hacia un cuadrado.

octógonos

Una línea recta podría ser cualquier número de lados con ángulos rectos entre ellos.

22voto

bentsai Puntos 1886

Para aquellos que piensan que la respuesta es $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$, mediante:

  • Un $n$-ágono tiene $n$ lados;
  • Un círculo es un límite de un $n$-ágono a medida que $n \rightarrow \infty$;
  • Por lo tanto, un círculo tiene $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$ lados;

Me gustaría mencionar: no es tan sencillo. Si tomar límites de esta manera fuera legítimo, entonces podríamos demostrar, por ejemplo, que un cuadrado tiene un número infinito de lados.

Considera una escalera con $n$ peldaños, y cada peldaño tiene una altura de $1/n$ y un ancho de $1/n$. Consiste en $2n$ segmentos de línea. A medida que $n \rightarrow \infty$, la escalera converge a un solo segmento de línea (es decir, el límite coincide punto por punto con un solo segmento de línea).

Si pegamos cuatro de estas escaleras juntas, y tomamos su límite, obtenemos un cuadrado, que tendría $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 4 \times 2n = \infty$ lados.

13 votos

1 votos

@Douglas: 1. ¿Qué significa "línea"? 2. ¿Qué significa "pegado"?

3 votos

@Douglas: Creo que el razonamiento no fue así, sino en la línea de "un triángulo tiene tres tangentes, un cuadrado tiene cuatro y un círculo tiene infinitas".

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