¿Cuántos lados tiene un círculo?

Question

Mi hijo está en segundo grado. Su maestra de matemáticas dio a la clase un quiz, y una de las preguntas fue esta:

Si un triángulo tiene 3 lados, y un rectángulo tiene 4 lados, ¿cuántos lados tiene un círculo?

Mi primera reacción fue "0" o "indefinido". Pero mi hijo escribió "$\infty$" lo cual creo que es una respuesta razonable. Sin embargo, fue marcado como incorrecto con el comentario, "la respuesta es 1".

¿Existe una respuesta correcta aceptada en geometría?

edición: Me encontré con esta maestra recientemente y mencioné este problema del quiz. Ella dijo que pensó que mi hijo había escrito "8." Ella no sabía que un "8" de lado significa infinito.

Answer 1

La respuesta depende de la definición de la palabra "lado". Creo que esta es una pregunta terrible (editar: para poner en un cuestionario) y es el tipo de cosa que hará que los niños odien las matemáticas. "Lado" es un término que realmente debería reservarse para los polígonos.

Answer 2

Mi hijo de tercer grado llegó a casa hace unas semanas con preguntas de tarea similares:

¿Cuántas caras, aristas y vértices tienen los siguientes?

• cubo
• cilindro
• cono
• esfera

Como la mayoría de los matemáticos, mi primera reacción fue que para los objetos mencionados la pregunta necesitaría una definición precisa de cara, arista y vértice, y realmente no tiene sentido sin tales definiciones.

Pero después de hablar sobre el problema con numerosas personas, llevando a cabo una especie de experimento social/matemático, observé algo intrigante. Lo que observé fue que ninguno de mis amigos y conocidos no matemáticos tuvo ningún problema en utilizar un concepto geométrico intuitivo aquí, y todos estuvieron completamente de acuerdo en que las respuestas deberían ser

• cubo: 6 caras, 12 aristas, 8 vértices
• cilindro: 3 caras, 2 aristas, 0 vértices
• cono: 2 caras, 1 arista, 1 vértice
• esfera: 1 cara, 0 aristas, 0 vértices

De hecho, estas también eran las respuestas deseadas por el maestro de mi hijo (que es un verdaderamente excelente profesor). Mientras tanto, todos mis colegas matemáticos vacilaron sobre cómo realmente no podemos responder, y ¿qué significa "cara" en este contexto de todas formas, y así sucesivamente; la mayoría de ellos al final querían decir que una esfera tiene infinitas caras e infinitos vértices y así sucesivamente. Para la tarea, mi hijo escribió una explicación dando las respuestas anteriores, pero también explicando que había un sentido en el que algunas de las respuestas eran infinitas, dependiendo de lo que se quisiera decir.

En una fiesta el fin de semana pasado llena de matemáticos y filósofos, fue un juego divertido preguntar primero a un matemático la pregunta, que invariablemente hacía varias objeciones y negativas y decía que no tenía sentido y así sucesivamente, y luego la pareja no matemática daba un relato completamente claro. Hubo muchas disputas amistosas al respecto esa noche.

Entonces parece evidente que nuestra extensa formación matemática ha interferido con nuestra capacidad de comprender fácilmente lo que los niños y no matemáticos encuentran ser un concepto geométrico claro y distinto.

(Sin embargo, mi punto de vista real es que es nuestra formación la que nos ha enseñado que los conceptos no son tan claros y distintos, como lo demuestran numerosos casos límite y contraejemplos en la lucha histórica por encontrar las definiciones correctas para los teoremas $V-E+F$ y otros.)

Answer 3

Sé que llego tarde a la fiesta, pero me sorprende que nadie haya mencionado esto. En la teoría de la convexidad, hay una noción llamada punto extremo que generaliza la noción de vértice (o esquina) de un polígono. Según esta definición, cada punto en un círculo es un punto extremo, por lo que tiene sentido decir que tiene infinitos (¡innumerables!) vértices. Aunque la noción de lado no es tan buena. Si la definición es el segmento de línea que une dos vértices, entonces la respuesta sería 0 para el círculo.

Answer 4

Esto se refiere a la respuesta de Douglas Stones, pero las imágenes no pueden ser incrustadas en los comentarios. Los límites de los lados pueden tener un ángulo recto, como estos octógonos convergiendo en un cuadrado.

Una línea recta podría tener cualquier número de lados con ángulos rectos entre ellos.

Answer 5

Para aquellos que piensan que la respuesta es $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$, vía:

• Un $n$-ágono tiene $n$ lados;
• Un círculo es el límite de un $n$-ágono conforme $n \rightarrow \infty$;
• Por lo tanto, un círculo tiene $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$ lados;

Me gustaría mencionar: no es tan simple. Si tomar límites de esta manera fuera legítimo, podríamos mostrar que por ejemplo un cuadrado tiene un número infinito de lados.

Considera una escalera con $n$ peldaños, y cada peldaño tiene una altura de $1/n$ y un ancho de $1/n$. Se compone de $2n$ segmentos de línea. Conforme $n \rightarrow \infty$, la escalera converge a un único segmento de línea (es decir, el límite concuerda punto por punto con un solo segmento de línea).

Si pegamos cuatro de estas escaleras juntas, y tomamos su límite, obtenemos un cuadrado, que tendría $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 4 \times 2n = \infty$ lados.