Vale la pena recordar lo que Martin-Löf escribió en [Intuitionistic tipo de teoría]: (Pero tenga en cuenta que Martin-Löf escribe "set" para lo que podríamos llamar "tipo"!)
- ¿Qué es un conjunto?
- ¿Qué es lo que debemos saber para tener el derecho de juzgar algo para ser un set?
- ¿Qué hace que una sentencia de la forma "$A$ es un conjunto"?
La primera es la ontológica (griego antiguo), el segundo el epistemológico (Descartes, Kant, ...) y la tercera semántico (moderno) manera de posar esencialmente la misma pregunta. [...] Así:
- un conjunto $A$ está definido por la prescripción de cómo un canónica elemento de $A$ se formaron, así como la manera en que dos iguales canónica elementos de $A$ está formado.
Esta es la explicación del significado de una sentencia de la forma $A$ es un conjunto.
Mi propia opinión es que no tiene sentido comparar conjuntos y tipos – que son entidades en mundos muy distintos. La pregunta correcta es:
¿Cuál es la diferencia entre una teoría y un tipo de teoría?
La respuesta, que se insinúa por la cita anterior, es la sintaxis. La teoría de conjuntos es una lógica de la teoría, construido en la cima de una preexistente deductivo sistema, tales como la lógica de primer orden, mientras que el tipo de teoría es un sistema deductivo en su propio derecho. (Bueno, podría formalizar tipo de teoría como cierta clase de primer orden de la teoría, pero creo que para ser una especie de abstracción de la inversión.)
Una de las principales diferencias es que en términos de tipo de teorías son ciudadanos de primera clase: no se indican los elementos, que son los elementos. (Que no quiere decir que los diferentes términos no pueden ser iguales, a pesar de – más sobre esto más adelante.) Por supuesto, qué se entiende por "elemento" también tiene que ser algo más general que en la teoría de conjuntos, ya que los términos no tienen que ser cerrados: por ejemplo, el término $\mathsf{succ} (x)$, en el contexto de $x : \mathbb{N}$, es de tipo $\mathbb{N}$; por lo interpreta literalmente, se dice que el $\mathbb{N}$ tiene un "elemento" $\mathsf{succ} (x)$, el sucesor de un "elemento variable" $x$. Una manera de hacer sentido concreto de esto es emplear la noción de "generalizadas elemento" a partir de la categoría de la teoría: el "elemento variable" $x$ se interpreta como la función identity $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$, y de manera similar a $\mathsf{succ} (x)$ se interpreta como la función sucesor $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$. Esto es para ser distinguido de (la interpretación de) cerrado el plazo $\lambda x : \mathbb{N} . \mathsf{succ} (x)$, que es de tipo $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ en el vacío contexto. (Esto, por cierto, es una de las razones por ETCS se considera una teoría y no un tipo de teoría – aunque, por supuesto, se basa en gran medida de tipo teórico prácticas.)
Una forma mucho más sutil diferencia entre la teoría de conjuntos y la teoría tipo es el tratamiento de la igualdad. En el tipo de teoría, es posible (pero no necesaria) para distinguir entre los llamados juicios de valor de la igualdad (que se denota por a $\equiv$) y proposicional de la igualdad (que se denota por a $=$). Juzgar las cuestiones de igualdad de igualdad de términos qua términos: por ejemplo, $1 \equiv \mathsf{succ}(0)$ debido a que el primero es una abreviatura para el último, y (suponiendo la consistencia) nosotros nunca ha $x \equiv y$ al $x$ $y$ son dos variables diferentes. Esto a veces se llama "la definición de la igualdad", porque uno generalmente deduce juicios de valor que iguala en varias ocasiones la aplicación de las definiciones ("$\beta$-reducción"). No importa como lo llamen, juicios de valor, la igualdad es (se supone) una externa metalingüísticos noción, y no hace falta decir, los juicios de valor de la igualdad está ausente en la teoría de conjuntos.
Por otro lado, proposicional, las cuestiones de igualdad de la semántica. Por supuesto, los juicios de valor de la igualdad implica proposicional de la igualdad, pero el recíproco no necesita tener. (Si lo hace, entonces el tipo de teoría que se dice ser extensional.) Aquí un poco involucrados ejemplo. Deje $x$ $y$ ser variables de tipo $\mathbb{N}$. A continuación, $x + y$ $y + x$ son términos de tipo de $\mathbb{N}$, definido por la inducción de la forma habitual:
\begin{align*}
x + 0 & \equiv x &
x + \mathsf{succ}(y) & \equiv \mathsf{succ}(x + y) \\
y + 0 & \equiv y &
y + \mathsf{succ}(x) & \equiv \mathsf{succ}(y + x)
\end{align*}
Ahora, en varias ocasiones la aplicación de las definiciones, se puede mostrar que el $x + y \equiv y + x$ después de la sustitución de cerrado numerales $x$$y$, así por ejemplo,$2 + 3 \equiv 5 \equiv 3 + 2$. Pero eso no quiere decir que $x + y \equiv y + x$; de hecho, esta sentencia no puede ser derivada en intensional tipo de teoría! Más bien, uno tiene que usar la inducción en $x$$y$, y el único tipo de igualdades se puede demostrar por inducción son proposicional igualdades.
Creo que, para conseguir realmente una buena idea del tipo de teorías como un matemático, uno debe ir a jugar con la prueba como asistentes Coq o de Agda, o de otro modo tratar de aprender lo que se necesita para construir un modelo de intensional tipo de teoría. Mi propio entendimiento se ve seriamente obstaculizado por intuiciones extraídas de extensional tipo de teoría, que es en muchos aspectos más, como la teoría de conjuntos que no.
