Cuál es el límite de $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left(k!+\frac{(k+1)!}{1!}+\frac{(k+2)!}{2!}+\cdots+\frac{(k+n)!}{n!}\right)=?$

Question

For $k\in\mathbb{N},$ $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left(k!+\frac{(k+1)!}{1!}+\frac{(k+2)!}{2!}+\cdots+\frac{(k+n)!}{n!}\right)=?$$

Así que estoy tratando de encontrar este límite. Intentar aplicar límite de comparación pero no sé dónde empezar. ¿Observo que el % es de $(k+n)!\geq n!$, este hecho va a ayudarme de alguna manera? Me ayudar hacia fuera. Gracias.

Answer 1

La suma en cuestión es:

$$ \frac{k!} {n ^ {k+1}} \left (\frac{k!} {k}! + \frac{(k+1)!} {k! 1!} \ldots + \frac {(k + n)!} {k! n!} \right).$$

Ahora el valor entre corchetes es sólo $\binom k k + \binom {k+1} k + \ldots + \binom {k + n} k$. Hay una conocida identidad combinatoria que dice que esto es $\binom {k+n+1} {k+1}$ (bastante fácil demostrarlo por inducción utilizando $\binom a b + \binom a {b-1} = \binom {a+1} b$). Así se convierte en la suma anterior:

$$ \frac{k!}{n^{k+1}} \binom {k+n+1}{k+1} = \frac{(n+1)(n+2)\ldots(n+k+1)}{(k+1)n^{k+1}} = \frac 1 {k+1}\left(1 + \frac 1 n\right)\ldots\left(1 + \frac {k+1}n\right).$$

$n\to\infty$, Esto tiende a $\frac 1 {k+1}$.

Answer 2

Mover el $1/n^{k+1}$ dentro de la suma para ver la expresión equivale a

$$\tag1 S_n = \sum_{j=0}^{n} \frac{(j+k)!}{j!n^k}\frac{1}{n} = \sum_{j=0}^{n} \left(\frac{j}{n} + \frac{k}{n}\right)\left(\frac{j}{n} + \frac{k-1}{n}\right)\cdots \left(\frac{j}{n} + \frac{1}{n}\right)\frac{1}{n}.$$

No $\epsilon>0.$ $k/n < \epsilon$ % grande $n.$tal $n,$ $(1)$ la derecha muestra

$$\tag 2 \sum_{j=0}^{n} \left(\frac{j}{n}\right)^k\frac{1}{n} \le S_n \le \sum_{j=0}^{n} \left(\frac{j}{n}+\epsilon\right)^k\frac{1}{n}.$$

Las cantidades en $(2)$ izquierdas y derecha son sumas de Riemann, y vemos

$$\int_0^1 x^k\,dx \le \liminf S_n \le \limsup S_n \le \int_0^1 (x+\epsilon)^k\,dx.$$

$\epsilon \to 0,$ La integral a la derecha converge a la integral a la izquierda, que muestra $\lim S_n = 1/(k+1).$

Answer 3

$$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left(k!+\frac{(k+1)!}{1!}+\frac{(k+2)!}{2!}+\cdots+\frac{(k+n)!}{n!}\right)=$$ $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\sum_{m=0}^{n}\frac{(k+m)!}{m!}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\cdot\frac{(n+1)(k+n+1)!}{(k+1)(n+1)!}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\cdot\frac{(k+n+1)!}{(k+1)n!}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \frac{n^{-k-2}\Gamma(k+n+2)}{(k+1)\Gamma(n)}=$$ $$\frac{1}{k+1}\lim_{n\to \infty} \frac{n^{-k-2}\Gamma(k+n+2)}{\Gamma(n)}=\frac{1}{k+1}$$