Una idea loca...
Pregunta
Deje $\mathcal{B}$ ser el subconjuntos de Borel $\mathbb{R}$, e $X$ el conjunto de funciones continuas $[0,\infty) \to \mathbb{R}$. ¿Existe una "medida" en función de $\mu: \mathcal{B} \to X$ la satisfacción de las siguientes condiciones?
$\mu(\varnothing) = \boldsymbol{0}$.
Para todos los $d \in [0,\infty)$ si $A \in \mathcal{B}$ $\mu_d$ $d$-dimensional medida de Hausdorff, entonces: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\mu(A)(x)}{x^d} = \mu_d(A).$$ (Específicamente si $A$ ha dimensión de Hausdorff $d$ y medida $a$ en esa dimensión, queremos que crezca como $ax^d$ si $a \ne 0, \infty$.)
$\mu$ es countably aditivo, en el siguiente sentido: vamos a $A_1, A_2, A_3, \ldots$ ser distintos conjuntos de Borel de la unión,$A$, $\mu(A_n) = f_n$ $\mu(A) = f$. Si $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\mathbb{R}$, luego
$$ \sum_{n=1}^\infty f_n = f. $$
Actualización: Eric Wofsey ha mostrado a continuación elemental argumento de que si $\mu$ también satisface:
- Traducción de invariancia: $\mu(A + r) = \mu(A)$ todos los $A \in \mathcal{B}$$r \in \mathbb{R}$.
entonces esto es imposible. ¿Qué acerca de 1-3?
La motivación
Mientras que la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ falla en la captura de cualquier tamaño diferencias entre diferentes tipos de medida cero conjuntos, se puede capturar dicha información con la dimensión de Hausdorff. Mediante la identificación de un conjunto con su dimensión de Hausdorff y su medida de Hausdorff en esa dimensión, se obtiene una mucho más rica noción de tamaño.
Por ejemplo, $\varnothing$ (dimensión 0 medida 0) es menor que $\{1,4\}$ (dimensión 0 medida $2$), que es menor que $\mathbb{Q}$ (dimensión 0 medida $\infty$), que es más pequeño que el conjunto de Cantor (dimensión $\frac{\ln 2}{\ln 3}$ medida $1$) que es menor que $[0,1]$ (dimensión $1$ medida $1$), que es menor que $\mathbb{R}$ (dimensión $1$ medida $\infty$).
Siempre he tenido curiosidad: podemos capturar esta noción de tamaño en una única "medida" en los conjuntos de Borel-no un valor real, pero la función de valor? Encima es un intento.
