¿Razón intuitiva de por qué muchas integrales complejas desaparecen cuando la trayectoria se "infla"?

Question

Un truco habitual para evaluar integrales difíciles a lo largo de la recta real es considerar un contorno cerrado y "ampliar" la parte compleja hasta que desaparezca, dejándonos con los residuos recogidos por el camino. Esto se suele hacer acotando la magnitud de la integral desde arriba con algo que tiende a $0$ . Mi pregunta es, ¿hay alguna razón intuitiva por la que debamos esperar esto?

Mi idea era que, si proyectamos el plano complejo sobre una esfera de Riemann, la trayectoria que parece agrandarse se reduce en realidad al punto en $\infty$ . He hecho un dibujo (no muy bonito) para ilustrar lo que quiero decir:

En azul está un contorno semicircular en el plano medio superior, centrado en el origen, y en rojo está el proyección estereográfica de este contorno en una esfera de Riemann. Es evidente que a medida que el radio del semicírculo azul $\to\infty$ El semicírculo rojo que corresponde a la parte compleja del contorno se encoge hasta el polo norte de la esfera.

¿Es esta una buena manera de pensar en ello y es una razón suficiente para que la integral a lo largo de ese arco se desvanezca (siempre que no encuentre polos en el camino)?

Answer 1

Creo que aquí existe lo que los científicos llaman "sesgo de selección".

Normalmente, el tipo de integrales que se evalúan con la integración de contorno son integrales impropias que convergen. Por ejemplo, integrales como $$\int_0^\infty \frac{P(x)}{Q(x)},$$

donde $\deg {Q} > \deg{P}+1$ y $Q$ tiene un término constante no nulo.

Si se convierte dicha integral en una función compleja $P(z)/Q(z)$ entonces, por supuesto, irá a cero sobre (digamos) una gran trayectoria semicircular, porque está limitada por algo así como

$$\frac {C\cdot R^{\deg{P}}} {D\cdot R^{\deg{Q}}}\cdot \pi R,$$

que será cero porque la hipótesis $\deg {Q} > \deg{P}+1$ lo garantiza.

Answer 2

No creo que esta sea una forma útil de pensar en ello. Si $z$ es la coordenada estándar en el plano complejo, entonces podemos definir una coordenada $w = 1/z$ que incluye $\infty$ en la esfera de Riemann. Entonces tenemos $$ f(z)\, dz = -\frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)dw ~. $$ Así que realmente depende de $f$ (¡obviamente!).

La única "explicación heurística" que se me ocurre para explicar por qué el truco funciona tan a menudo es que si la integral converge en la línea real, entonces el integrando debe estar muriendo bastante rápido en $\pm\infty$ . Por lo tanto, es "bastante probable" que también se extinga rápidamente en todo un semicírculo de ángulos.

Answer 3

Creo que es una forma interesante de ver los números complejos y de visualizar el contorno. Dicho esto, no estoy del todo seguro de su utilidad en general. Quizá recuerdes que utilizamos un contorno semicircular sólo en algunos casos especiales (por ejemplo, las integrales a las que se aplica el lema de Jordan). Muchas otras integrales que pueden evaluarse mediante técnicas de integración de contornos no convergen a lo largo de un contorno semicircular, por lo que se utilizan otros contornos. (Por ejemplo, véase este problema ).

Dicho esto, todos estos casos implican la evaluación de la integral en el polo norte de la esfera de Riemann. Pero no estoy seguro de qué información adicional aporta eso.

Answer 4

Este truco no funciona con todas las integrales de contorno complejas, pero en particular funciona para integrales de funciones de la forma $\frac{P(z)}{Q(z)}$ donde $\deg Q \ge \deg P + 2$ .

El razonamiento es sencillo:

$$\left| \int_\Gamma \frac{P(z)}{Q(z)}\ dz \right| \le ML$$

donde $M = \max_\Gamma \left|\frac{P(z)}{Q(z)}\right|$ es el valor máximo de la función a lo largo de la curva, y $L$ es la longitud de la curva.

Como el radio de la trayectoria $R \to \infty$ sabemos que $\frac{P(z)}{Q(z)}$ va como $\frac{1}{R^2}$ Así que $ML \sim \frac{1}{R} \to 0$ .