Un $k$ variedad $X$ es suave si se admite un unramified de morfismos liso $k$-variedad de $Y$

Question

Me gustaría demostrar que, dado un $k$-variedad de $X$ de la dimensión de $n$ junto con un unramified de morfismos $f:X\rightarrow Y$ donde $Y$ es un buen $k$-variedad de dimensión$n$, $X$ es suave. (Esto es de Ravi Vakil notas, es decir, 25.2.Ea.)

Para este fin, me gustaría usar la cotangente de la secuencia exacta para mostrar que $\Omega_{X/k}$ es localmente libre de rango $n$. Debido a $f$ es unramified, $\Omega{X/Y} = 0$, y para el contangent secuencia exacta de los rendimientos:

$$f^* \Omega_{Y/k} \rightarrow \Omega_{X/k} \rightarrow 0.$$

Debido a $Y$ es suave ahora tenemos un surjection de un local libre gavilla de rango $n$.

No estoy seguro de dónde ir desde aquí. Si esto es la izquierda-exacto, entonces por 6.2.10 en Qing Liu $f$ sería étale, que parece demasiado fuerte. Vakil sugiere el uso de los conormal secuencia exacta, pero no estoy seguro de cómo esto se aplica, ya que no tienen un cerrado de inmersión.

Answer 1

Para este fin, me gustaría usar la cotangente de la secuencia exacta para mostrar que $\Omega_{X/k}$ es localmente libre de rango $n$. Debido a $f$ es unramified, $\Omega{X/Y} = 0$, y para el contangent secuencia exacta de los rendimientos:

$$f^* \Omega_{Y/k} \rightarrow \Omega_{X/k} \rightarrow 0.$$

Debido a $Y$ es suave ahora tenemos un surjection de un local libre gavilla de rango $n$.

Esto implica que $\Omega_{X/k} \otimes k(x)$ tiene dimensión (más de $k(x)$) en la mayoría de las $n$ todos los $x$. Por otro lado $\dim \Omega_{X/k} \otimes k(x)$ tiene al menos la dimensión de $X$ $x$ (ampliar el campo de tierra para su clausura algebraica y demostrar la desigualdad a través de una algebraicamente cerrado de campo). Así que si suponemos $X$ es pura dimensión de $n$, luego$$\dim \Omega_{X/k} \otimes k(x) = n.$$This implies that $\Omega_{X/k}$ is locally free of rank $n$. We can also say that the map$$f^* \omega_{Y/k} \otimes k(x) \to \Omega_{X/k} \otimes k(x)$$is an isomorphism, so$$f^*\Omega_{Y/k} \to \Omega_{X/k}$$es un isomorfismo por Nakayama.

¿Por qué tener todas las fibras de la dimensión $n$ implica que $\Omega_{X/k}$ es localmente libre?

Este es un hecho general en la reducción del Noetherian esquemas $X$: si una coherente gavilla $\mathcal{F}$ $X$ es tal que $\dim_{k(x)} \mathcal{F} \otimes k(x)$ es constante para todos los $x$$X$, $\mathcal{F}$ es localmente libre. Usted puede encontrar esta declaración como un ejercicio de Hartshorne.