La evaluación de $\lim_{\theta \to 0^+}\frac{\sin\theta}{\theta^2}$

Question

¿Cómo puedo evaluar $$\lim_{\theta \to 0^+}\frac{\sin\theta}{\theta^2}?$$

He intentado lo siguiente:

$$\lim_{\theta \to 0^+}\frac{\sin\theta}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0^+}\frac{1}{\theta}\cdot \lim_{\theta \to 0^+}\frac{\sin\theta}{\theta} = \lim_{\theta \to 0^+}\frac{1}{\theta} = +\infty$$

Sin embargo, creo que hay un error con mi trabajo, ya que creo que no es aceptable para separar un límite cuando se separa en algo que tiene un valor de infinito. Hay un problema con mi trabajo aquí?

Answer 1

Usted puede intentar en tal manera: $\forall \epsilon >0$ tenemos $\lim_{\theta\rightarrow 0^{+}} \frac{sin(\theta)}{\theta^2} \ge \lim_{\theta\rightarrow 0^{+}} \frac{sin(\theta)}{\theta\epsilon} = \frac{1}{\epsilon}$. ya sabemos que el límite de $\ge \frac{1}{\epsilon}$ todos los $\epsilon$, podemos concluir que $\lim_{\theta\rightarrow 0^{+}} \frac{sin(\theta)}{\theta^2} = \infty$ o, simplemente, decir que el límite no existe.

Answer 2

T. Bongers ya dio la mejor respuesta, pero de una forma ligeramente diferente de hacerlo es tener en cuenta que el límite es $$ \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\frac{1}{\theta}. $$ Usted probablemente ya sabe que $$ \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1. $$ Así, se están multiplicando algo que se aproxima a $1$ por algo que se aproxima a infinito. La cosa va a crecer sin límite.