Mostrar que un anillo con desconectada del espectro es un producto de dos subrings.

Question

Es un ejercicio del libro introducción al álgebra conmutativa por Atiyah y Macdonald. Si $\operatorname{Spec}(A)$ está desconectado, me piden que muestran que $A$ es un producto de dos subrings.

Sé que $A/R$ es un producto de dos anillos, donde $R$ es el nilradical de $A$. ¿Qué debo hacer? También, mi amigo me dijo que puede ser resuelto utilizando el hecho de que(no sé) que la categoría de afín esquemas es isomorfo al frente de la categoría de los anillos, no entiendo cómo podría este hecho ayuda. Quiero una escuela primaria de la solución a este ejercicio. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Supongamos que el espectro de $X=\mathrm{Spec}(A)$ está desconectado. Esto significa que es distinto de la unión de dos conjuntos cerrados (que también están abiertos). Conjuntos cerrados del espectro son, por definición, los subconjuntos de la forma $V(I)$ $I$ un ideal de a $A$. Así que la suposición es que el $X=V(I)\cup V(J)$ por unos ideales $I,J$$V(I)\cap V(J)=\emptyset$. Ahora, en general, a partir de la definición, uno ha $V(I)\cap V(J)=V(I+J)$, debido a que un primer ideal de $A$ contiene $I$ $J$ si y sólo si contiene $I$$J$, si y sólo si contiene $I+J$. Por lo $V(I+J)=\emptyset$. Esto significa que $I+J$ no se encuentran en cualquier primer ideal de $A$, lo que significa que no puede ser un adecuado ideal: $I+J=A$. Por otro lado, de nuevo a partir de la definición, uno ha $V(I)\cup V(J)=V(IJ)$. Debido a $I+J=A$, uno ha $IJ=I\cap J$ (esto está demostrado en los inicios de la y M). De hecho, para esos ideales a $I$ $J$ (a veces llamado comaximal ideales), y M demostrar que el natural anillo de mapa de $A\rightarrow(A/I)\times(A/J)$ es un isomorfismo (este es un ejemplo del teorema del resto Chino). Así que, de hecho, $A$ se descompone como producto.

EDIT: Como es señalado por la OP en los comentarios, mi argumento no es completa. Sólo se muestra lo que el OP ya que aparentemente sabía, que $A$ modulo de sus nilradical se descompone como producto. Uno debe argumentar que idempotents ascensor modulo el nilradical. Esto queda demostrado en tanto las respuestas a Si $\mathop{\mathrm{Spec}}A$ no está conectado, a continuación, hay un idempotente no trivial

Answer 2

Cada componente conectado, $V$ $\operatorname{Spec}(A)$ es un conjunto cerrado. Por lo tanto, $\operatorname{Spec}(A/I(V))$ es sólo ese componente. Por lo tanto, uno puede particionar $\operatorname{Spec}(A)$$\operatorname{Spec}(A/I(V))$. Cada anillo de $B$ que ha morfismos a cada una de las $A/I(V)$ tiene un universal de morfismos a $\prod A/I(V)$. Es este un cociente, al $B=A$? ¿Qué es el kernel? En la otra categoría, la de morfismos de $A$ induce un natural mapa de la gama de producto a $A$, cuya topología sin duda coincide con la de $A$.

ESTOY DESPIERTO, ESTOY DESPIERTO:

Así que, ¿qué quisiera hacer la instrucción primaria era que si $\operatorname{Spec}(A)$ había subespacios, que coinciden con el producto del espectro, la disjointness de los subespacios implicaría la única diferencia topológica no podía ser era la de si todos los subespacios de $\operatorname{Spec}(A)$ fueron cerradas como están en el espectro del producto. Ya que yo no estaba haciendo las matemáticas, se me olvidó que si $A$ no era reducido podría tener la misma topología.

El surjectivity condición en el universal mapa refuerza la conexión. Que el kernel es el nilradical puede comprobarse varias maneras, pero ver Kidwell la respuesta para demostrar el nilradical es $\{0\}$.

W. l.o.g., deje $f, g$ ser cociente de mapas de $A$. A continuación, el universal mapa de $<f,g>:A\rightarrow A/\ker f \prod A/\ker g$ es surjective iff

$$\not \exists <[y]_f,[z]_g>: f^{-1}(y) \bigcap g^{-1}(z)=\emptyset$$ $$\iff \forall y, z \in A, \exists i \in \ker f, j \in ker g : y+i = z+j$$ $$\iff \forall y, z, y-z \in \ker f+ \ker g.$$

Por lo tanto surjectivity de el universal mapa tiene iff los granos son comaximal. Además, comaximality implica discontinuo variedades, y el radical de la suma de los granos debe ser $A$ - que es sólo la suma de los granos, si uno está inicialmente la definición de los núcleos como $I(V)$ $V$ de un componente conectado.