'Concéntricos' parábolas -- dos parábolas que tienen una constante de vector de distancia

Question

Estoy tratando de 'dibujar' una de dos dimensiones ruta de acceso en la forma de un semi círculo, con un espesor d en el plano xy. La manera en que yo quisiera hacer esto es tener dos parábolas, $f(x) = ax^2$$g(x)= bx^2 +cx + d$, y tiene el semi círculo será definido por el área entre las parábolas. He adjuntado un lacónico imagen si esto no es claro:

He intentado un vector de enfoque:

$\vec{F} = x\hat{x}+ax^2\hat{y}$ -- formulario de vector de $f(x)$

$\vec{G} = x\hat{x}+(bx^2+cx+d)\hat{y}$ -- formulario de vector de $g(x)$

Suponga $a$ es conocido. Me he impuesto las siguientes limitaciones:

i) $|\vec{F}-\vec{G}| = d \ \ \forall \ \ x$

ii)$f(x_0)=g(x_0) \to ax_0^2=bx_0^2 +cx_0+d$

Con estas limitaciones, i) asegura la constante ancho camino, creo yo, y ii) asegura los extremos de la semi círculo para ser "plano", en la dirección y

Claramente la constante en $g(x)$$d$, como debe de ser para satisfacer i) por $x=0$. Más de álgebra en la búsqueda de $b,c$ no ha dado a mí en cualquier aparente resultados después de trazar - me estoy encontrando que b y c son funciones de x en el resultado de $g(x)$ no-cuadrática.

Alguien me puede ayudar? ¿Qué hice mal? Esto es incluso posible?

Answer 1

Es un teorema que dos curvas cuya distancia uno de otro es una constante distinto de cero no puede ser ambas parábolas con $a \ne 0$, por lo que nunca vas a ser capaz de resolver las ecuaciones.

En efecto, el hecho de que no se podía resolver de ellos es más o menos una prueba de este hecho.

Si quieres una prueba, puedo dar detalles, pero supongo que sólo quiero saber que puede dejar de trabajar en este enfoque.

La prueba de que el desplazamiento de la curva de (al menos uno) de la parábola no es una parábola:

Ver el $y = x^2$. En un punto de $P = (a, a^2)$ de esta curva, el vector tangente es $(1, 2a)$, por lo que el vector normal es $n = (-2a, 1)$, que tiene el cuadrado de la longitud de la $1 + 4a^2$. Por lo tanto el punto de $P + rn$ donde $r = \frac{1}{\sqrt{1 + 4a^2}}$, es la distancia 1 de la parábola. Las coordenadas de este punto son $$ (a, a^2) + r(-2a, 1) = (a(1-2r), a^2 - r) $$ Llamar a estos $X$$Y$, la pregunta es: "¿hay constantes $A,B,C$$AX^2 + BX + C = Y$?"

Para$a = 0$,$(X, Y) = (0, 1)$.

Para$a = 1$,$(X, Y) = ((1-2\sqrt{5}), 1-\sqrt{5})$.

Para$a = -1$,$(X, Y) = (-(1-2\sqrt{5}), 1-\sqrt{5})$.

La primera de ellas nos dice que si hay valores de $A,B,C$ según sea necesario, a continuación,$C = 1$. El segundo y tercer decir que $$ Un(1 a 2\sqrt{5})^2 + B(1-2\sqrt{5}) + C = A(-(1-2\sqrt{5})^2) + B(-(1+2\sqrt{5})) + C, $$ de ahí que $2B(1-2\sqrt{5}) = 0$, lo $B = 0$.

Pero cuando se añade, dicen que $$ Un(1 a 2\sqrt{5})^2 + C + A(-(1-2\sqrt{5})^2) + C = 2(1-\sqrt{5}) $$ Dividiendo por dos, obtenemos $$ Au + C = u, $$ donde $u = 1 - 2\sqrt{5}$.

Pero $C = 1$, por lo que $$ (U-1) = 1\\ A = \frac{1}{u-1}= \frac{1}{2\sqrt{5}}. $$

Por lo tanto el desplazamiento de la curva, si es una ecuación cuadrática debe ser $$ (**) Y = \frac{1}{2\sqrt{5}} X^2 + 1. $$

Ahora mira a $a = 2$; esto nos da el punto $$ (X, Y) = (a(1-2r), a^2 - r) = (2(1-2\sqrt{17}), 4 - \sqrt{17}).$$

Si sustituimos en la ecuación (**), no se puede conseguir una igualdad, sin embargo, por lo que debemos concluir que el único cuadrática coherente con los valores de $a = -1, 0, 1$ es incompatible con el valor de $a = 2$. Por lo tanto no hay cuadrática cuya gráfica contiene todas las distancias-1 puntos de desplazamiento para $y = x^2$.

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Hay un cuter prueba visual, que es que si usted acaba de dibujar el desplazamiento de la curva de distancia de 1.5 (creo), resulta que tiene un auto-intersección; esta curva está claro que no es la gráfica de cualquier ecuación cuadrática!

Answer 2

Para ilustrar la buena descripción de achille hui, especialmente de la cúspide también mencionado por John Hughes, que sin duda muestra el desplazamiento de la curva no es una parábola:

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Imagen de mathpages.com.

Answer 3

El lugar geométrico de los puntos en un fijo distancia normal a una curva se conoce como su paralelo de la curva (o desplazamiento de la curva para el CAD de la gente). Para la parábola, el paralelo de la curva tiene dos ramas (uno en cada lado). En lugar de las parábolas, que son racionales curvas de grado $6$.

Para la parábola $\mathcal{P} : y = a x^2$, se puede parametrizar como

$$(0,\infty) \ni s \quad\mapsto\quad (x,y) = \left(\frac{s-s^{-1}}{4a}, \frac{(s-s^{-1})^2}{16a}\right) \in \mathcal{P}$$

En cualquier punto de $(x,y)$$\mathcal{P}$, el vector normal es en la dirección de $(-2ax,1)$.

Para $d < \frac{1}{2a}$, los dos en paralelo de las curvas a una distancia normal $d$ $\mathcal{P}$ siguiente parametrización:

$$\begin{align}(X,Y) &= (x,y) \pm d \left(\frac{-2ax}{\sqrt{1+(2ax)^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+(2ax)^2}}\right)\\ &= \left(\frac{s-s^{-1}}{4a} \mp d \frac{s-s^{-1}}{s+s^{-1}}, \frac{(s-s^{-1})^2}{16a} \pm d \frac{2}{s+s^{-1}}\right) \end{align} $$ Por favor, tenga en cuenta que cuando se $d \ge \frac{1}{2a}$, la parametrización de la rama debajo de $\mathcal{P}$ continúan trabajando. Sin embargo, la parametrización de la rama por encima de $\mathcal{P}$ desarrollar una cúspide en $X = 0$, el locus es seccionalmente suave allí.

Answer 4

Utilizando la ecuación paramétrica de una parábola (ecuación de $ y = a x^2 $) para las coordenadas del punto y la pendiente es ventajoso.

$$ x = \frac{t} {2 a}, y = \frac{t^2}{4a}, y^{\prime} = t =\tan \phi $$

$$ \sin \phi = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} ;\, \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}};\, $$

Ecuación paramétrica de una paralela/ offset / equi-normal punto de distancia en términos de $t$ después de enchufar el anterior:

$$ x_1 = x-d \sin \phi , y_1 = y + d \cos \phi $$

No es otra parábola, pero un sexto grado del polinomio, como es mencionado por achille hui.

En el corte de metales ( no preguntar esto, pero) en una máquina CNC/de torno el uso de una fresa esférica de radio $d$ es ventajoso para derivar e integrar su ecuación diferencial numéricamente como de que manera podemos obtener el perfil de uniforme de x - incrementos de cortador de centro. El uso de un sexto grado o ecuación utilizando paramétrica forma que el anterior es más engorroso.