La cirugía en el colector de

Question

En este artículo sobre la cirugía en los colectores se explica que a partir de una $n$-colector $M$ $n$- colector $M'$ puede ser construido por el corte de $S^p \times D^q$ y pegado en $D^{p+1}\times S^{q-1}$.

Si $n=3=p+q=1+2$ el colector $M$ podría ser un sólido torus $T= S^1 \times D^2$. Luego de una cirugía de extracción de su interior $A=S^1 \times D^2$ y reemplazarlo con $B=D^2 \times S^1$ debe generar un nuevo colector $M'$.

¿Qué $M'$?

Answer 1

Para su $1$-cirugía en el sólido torus $T = S^1 \times D^2$, usted debe asegurarse de $A$ es una copia de $S^1 \times D^2$ mintiendo completamente en el interior de $T$. Realmente no has hecho esto en claro, así que estoy seguro de que la copia de $S^1 \times D^2$ estás hablando. Para ser perfectamente explícito, supongamos que el radio de la $D^2$$T = S^1 \times D^2$$1$, mientras que el radio de la$D^2$$A = S^1 \times D^2$$\tfrac{1}{2}$; el $S^1$'s $T$ $A$ son los mismos. Entonces vemos que el corte de $A$ $T$ equivale a "perforar el núcleo" de la sólida torus $T$. Si le ayuda, usted puede imaginarse $T$ como una dona rellena, $A$ como la jalea, y $T - A$ como el pan de la dona.

Ahora a la cola en $B = D^2 \times S^1$, necesitamos más información: cómo hacer pegamento $B$? Las instrucciones están codificados en un homeomorphism $$\phi: S^1 \times S^1 \longrightarrow S^1 \times S^1.$$ En su caso, $A \cong B$ (esto no sucede para las intervenciones quirúrgicas en general), así que si $\phi = \mathrm{Id}_{S^1 \times S^1}$, entonces tenemos nuestro original $T$. Si $\phi$ es un mapa en el que se "tuerce" $S^1 \times S^1$ alrededor de su núcleo, $p$ veces (en otras palabras, si $\mu$, $\lambda$ son el estándar de meridionial y longitutinal generadores de $H^1(S^1 \times S^1)$$\phi_\ast(\lambda) = \lambda + p \mu$), entonces el resultado de la cirugía será un lente de espacio de menos de un sólido toro: $L(p, 1) - S^1 \times D^2$ (este es sólo el estándar de género $1$ Heegaard la división de $L(p,1)$ a excepción de uno de los sólidos tori es la falta de su núcleo).

He aquí un ejemplo más sencillo. Tomar $M = S^2$, $p = 0$, $q = 3$. Así que tenemos que cortar una copia de $S^0 \times D^2$; esto es sólo un par de discos. Deja que estos simplemente dos discos pequeños centrada y los polos norte y sur de $S^2$. Ahora pegamos de nuevo en una copia de $D^1 \times S^1$; esto es sólo la superficie de un cilindro. El uso de $\phi = \mathrm{Id}_{S^0 \times S^1}$ nuestra pegado mapa, el resultado de esta cirugía va a ser el toro (hemos pegado el "mango" $D^1 \times S^1$ a nuestra esfera). Tenga en cuenta que este tiempo cuando se utilizó el mapa de identidad a la cola todavía tenemos un nuevo colector. Esto es debido a que $S^0 \times D^2$ $D^1 \times S^1$ son diferentes; en el primer ejemplo, $S^1 \times D^2$ $D^2 \times S^1$ son claramente homeomórficos.