Considerar el conjunto de real ortogonal de matrices de tamaño $n \times n$ tal que una entrada, decir $a_{i,j}$ fijos $i$$j$, satisface $a_{i,j}=0$. Tiene este conjunto cero Haar medida? Una prueba simple en afirmativa (que creo) o en caso negativo, se agradece. Muchas Gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos, de hecho, muestran que
$$G_{ij} = \{ A \in O(n) : a_{ij} = 0\}$$
es un buen submanifolds en $O(n)$. En particular, tiene cero medida de Haar.
Para ver esto, vamos a $F: O(n) \to \mathbb R$ ser definido por $F(A) = a_{ij}$. A continuación,$G_{ij } = F^{-1}(0)$. Para mostrar que $G_{ij}$ es suave, es suficiente para comprobar que el $0$ es un valor regular de $F$.
Ahora vamos a $A\in G_{ij}$. Tenemos
$$T_AO(n) = \{V \in M_n(\mathbb R): V+V^T = 0\}$$
(ver el comentario abajo) y $DF_A :T_A O(n) \to \mathbb R$, donde
$$DF_A(V) = (AV)_{ij}.$$
(Aquí se $(\cdot)_{ij}$ $(i, j)$ entrada de la matriz)
Lo siguiente que necesitamos para comprobar $DF_A$ es distinto de cero para todos los $A\in G_{ij}$. Ahora como $A \in O(n)$,$j_0\neq j$, de modo que $a_{ij_0}\neq 0$. Ahora vamos a $V$ ser la matriz de modo que $V_{j_0 j } =1$, $V_{j j_0} = -1$ y $V_{ij} = 0$ para el resto de las entradas. Por lo tanto $V\in T_A O(n)$ y
$$DF_A(V) = (AV)_{ij} = \sum_k a_{ik}V_{kj} = a_{i j_0} \neq 0.$$
Comentario El de arriba de construcción de la realidad muestra que $$G_{ij, c} = \{A \in O(n): a_{ij} = c\}$$ es un submanifold de $O(n)$ al $|c|\le 1$: Al $|c|<1$, la misma que unido funciona como todavía somos capaces de elegir ese $j_0$. Cuando $|c| = 1$, $G_{ij, c}$ es en realidad una copia de $O(n-1)$, por lo tanto es también un suave submanifold.
Comentario Adicional Como $O(n)$ es un buen grupo Mentira, la medida de Haar $\mu$ está dado por una métrica de Riemann. Como resultado, en cualquier local de coordenadas $U$ $O(n)$ con función de coordenadas $(x^1, \cdots, x^m)$, $\mu = G dx^1\cdots dx^m$ donde $G$ es un liso positivo de la función en $U$. Por lo tanto $\mu$ y el estándar de la medida de Lebesgue $dx^1\cdots dx^m$ son absolutamente continuas para cada uno de los otros. Esto demuestra, en particular, que cualquier liso submanifold $M$ $O(n)$ con dimensión estrictamente menor que el $O(n)$ cero, con una medida de Haar, como uno siempre puede encontrar un local de coordinar $U$, de modo que $U \cap M = \{x_1= \cdots x_k= 0\}$ donde $k$ es el codimension de $M$.
Para tu segunda pregunta, en general, un plano tangente de un colector $M$ $x$ está dado por todas las curvas de $\gamma : I \to M$, de modo que $\gamma(0) = x$, con la identificación de $\gamma'(0) \in T_xM$. Ahora el colector es$O(n)$$A\in O(n)$. Por lo tanto todas las curvas en $O(n)$ pasando a través de $A$ está dado por $AB(t)$ donde $B(t)$ es una curva en $O(n)$ pasando a través de $I$. Ahora como $B^*B = I$, de diferenciación de este con respecto a $t$ y, a continuación, restringir a $t=0$ da $\dot B^* + \dot B = 0\}$. Así
$$T_AO(n) = \{A V: V^* + V = 0\}.$$
