Actualmente estoy trabajando en el capítulo dos de los Principios de Análisis Matemático (ed. 3) por Walter Rudin. Mi pregunta viene de las páginas 30-31.
Sé que un espacio métrico debe satisfacer la definición:
Definición: Un espacio métrico es un par ordenado, $(X,d)$ donde $X$ es un conjunto cuyos elementos son llamados puntos), y $d$ es una métrica. La métrica debe satisfacer la siguiente, dado $x,y,z \in X$:
(a): $d(x,y) \ge 0$
(b): $d(x,y) = 0$ fib $x=y$
(c): $d(x,y) =d(y,x)$
(d): $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$
Rudin, a continuación, ofrece el ejemplo que euclidiana espacios, $\mathbb{R}^k$ también son espacios métricos.
Siguiente, a continuación, especifica que cualquier subconjunto de un espacio métrico es también un espacio métrico.
Después de probar esta declaración, entonces me decidí a venir para arriba con ejemplos, y como un ejercicio, trate de superarme a mí mismo para venir para arriba con contra-ejemplos. Uno de los intentos que he hecho ha sido: $\{ \boldsymbol{x} \} \subset \mathbb{R}^k$ donde $\boldsymbol{x}$ $k$- tupla. Esto proporciona la conjetura:
Conjetura: Dado cualquier $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^k$, la $\{ \boldsymbol{x} \} \subset \mathbb{R}^k$ es un espacio métrico.
Prueba: $d(x,x) = |x - x| = |0| = 0$. Por lo tanto, la única posible métrica es $0$ y por lo tanto todos los de la definición de condiciones que se cumplen.
Estoy inquieto acerca de la prueba que han construido ya en la definición, dos (y una vez tres) elementos extraídos de la métrica del espacio. Así, para que los de arriba para tener, me esencialmente debe dar a este elemento varias veces.
De modo que la sustancia primaria de mi pregunta es: en un espacio métrico, podemos dejar que un elemento de "hacer dos trabajos a la vez?"
