Derivado mapa de la diagonal de la inclusión de mapas en los colectores

Question

Yo estaba tratando de trabajar a través de un problema(#10 $\S$1.2) en Guillemin y Pollack, el libro de $\textit{differential topology. }$ El problema se da de la siguiente manera.

Deje $f: X\longrightarrow X\times X$ ser la asignación de $f(x)=(x,x)$. Compruebe que $df_x(v)=(v,v)$. Aquí $X\subset \mathbf R^m$ es un colector.

Mi intento ha sido hasta ahora:

Primero nos parametrise un abrir barrio de $x\in X$ $(x,x) \in X\times X$ localmente por $\phi$ $\phi \times \phi$ en subconjuntos $U\subset\mathbf R^m$ $U\times U$ (utilizamos $\phi(0)=x$ por simplicidad). Esto le da al conmutar el diagrama de la siguiente manera:

$$ \begin{array}[c]{ccc} X\;\;&\stackrel{f}{\longrightarrow}&X\times X\\ \downarrow\scriptstyle{\phi}&&\downarrow\scriptstyle{\phi \times \phi}\\ U\;\;&\stackrel{h}{\longrightarrow}&U\times U \end{array} $$

$$ \begin{array}[c]{ccc} T_x(X)&\stackrel{df_x}{\longrightarrow}&T_{(x,x)}(X\times X)\\ \downarrow\scriptstyle{d\phi_0}&&\downarrow\scriptstyle{d\phi_0 \times d\phi_0}\\ \mathbf R^m\;\;&\stackrel{dh_0}{\longrightarrow}&\mathbf R^m \times \mathbf R^m \end{array} $$

De acuerdo a la definición (o la de conmutar el diagrama de arriba), $df_x=(d\phi_0 \times d\phi_0) \circ dh_0 \circ d\phi_0$.

Sin embargo no tengo idea de cómo proceder después de eso. Si quiero calcular el $df_x$, tengo que saber lo $d\phi_0$ es de primera... Pero desde que deje $\phi(0)=x$, ¿cuál sería el derivado de mapa de ese ser (desde $\phi(0)=x$ sólo significa que enviarle un punto específico de la $0$ a un punto específico de la $x$, no nos dice nada acerca de la expresión de esta parametrización)?

Gracias a todos por la ayuda!

Answer 1

Esperando que sea de ayuda para usted estoy expandiendo A. Bellmunt del comentario.
Vamos a ser $x$ un punto de $X$, un submanifold de $\mathbb R^n$, e $\phi:X\to\mathbb R^m$ un local de coordenadas del gráfico centrado en $x$ ($\phi(x)=0$).

Por lo tanto, $\phi\times\phi:X\times X\to\mathbb R^m\times\mathbb R^m$ es un local de coordenadas del gráfico centrado en $(x,x)$ ($(\phi\times\phi)(x,x)=(0,0)$).

Ahora llegamos a la expresión local $f=(\phi\times\phi)^{-1}\circ \widetilde{f}\circ\phi$ donde $\widetilde{f}$ es el lineal mapa de $$\widetilde{f}:u\in\mathbb R^m\to(u,u)\in\mathbb R^m\times\mathbb R^m.$$ Por lo tanto:

1. $\widetilde f$ es lineal, por lo que coincide con $d_0\widetilde f$, y
2. si $v\in T_xM \overset{d_x\phi}{\longrightarrow}\tilde v\in\mathbb R^m$,$(v,v)\in T_{(x,x)}X\times X\overset{d_{(0,0)}(\phi\times\phi)}{\longrightarrow}(\tilde v,\tilde v)\in\mathbb R^m\times\mathbb R^m$,

y por 1. y 2. obtenemos inmediatamente el buscado expresión de $d_xf$, es decir: $$\begin{array}{ccc} v\in T_xM&\overset{d_xf}{\longrightarrow}&(v,v)\in T_{(x,x)}X\times X\\ \downarrow d_x\phi&&\downarrow d_{(x,x)}(\phi\times\phi)\\ \tilde v\in\mathbb R^m&\overset{d_0\widetilde f}{\longrightarrow}&(\tilde v,\tilde v)\in\mathbb R^m\times\mathbb R^m\end{array}$$

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Queridos Evariste, respondiendo a la pregunta complementaria en tu comentario:

dado cualquier curva de $\gamma=(\gamma_1,\gamma_2)$$M\times M$, si nos tomamos el tiempo-derivado de la $(\phi\times\phi)\circ\gamma=(\phi\circ\gamma_1)\times(\phi\circ\gamma_2)$, entonces, por la regla de la cadena, obtenemos $$\begin{aligned}(d\phi\times d\phi)\circ\gamma'&=(d\phi\circ\gamma_1')\times(d\phi\times\gamma_2')=\dfrac{d}{dt}((\phi\circ\gamma_1)\times(\phi\circ\gamma_2))\\&=\dfrac{d}{dt}((\phi\times\phi)\circ\gamma)=d(\phi\times\phi)\circ\gamma'.\end{aligned}$$ By the arbitrariness of $\gamma$, que se derivan de la identidad deseada.