¿Por qué es el valor esperado $E(X^2) \neq E(X)^2$?

Question

Deseo utilizar la fórmula de cálculo de la varianza para calcular la varianza de una normal, distribuidos de la función. Para esto, necesito que el valor esperado de $X$ así como la de $X^2$. Intuitivamente, me habría asumido que $E(X^2)$ es siempre igual a $E(X)^2$. De hecho, no puedo imaginar cómo podrían ser diferentes.

Podrías explicar cómo es esto posible, por ejemplo, con un ejemplo?

Answer 1

Suponga $X$ es una variable aleatoria que es 0 la mitad del tiempo y la 1 de la mitad del tiempo. Entonces $$EX = 0.5 \times 0 + 0.5 \times 1 = 0.5$$ así que $$(EX)^2 = 0.25,$$ mientras que en el otro lado $$E(X^2) = 0.5 \times 0^2 + 0.5 \times 1^2 = 0.5.$$ Por cierto, desde $Var(X) = E[(X - \mu)^2] = \sum_x (x - \mu)^2 P(x)$, la única manera de que la varianza jamás podría ser 0 en el caso discreto es al $X$ es constante.

Answer 2

Tenga en cuenta que su lógica aplicada a una distribución uniforme daría ese $$(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2=n({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2)$$ que claramente no es cierto en general.

Answer 3

Uno es un promedio de los cuadrados, el otro un cuadrado de un promedio. En general, al revés de dos procedimientos (mezcla de cookies, hornear galletas), usted no tiene derecho a esperar el mismo resultado.

Answer 4

Tomemos, por ejemplo, $X$ la normal estándar, o cualquier normal con una media de $0$. A continuación,$E(X)=0$.

Pero $X^2$ es siempre positivo, por lo que claramente su media debe ser positivo.

Esto muestra que (en este caso) $E(X^2)\ne (E(X))^2$.

De hecho, cuando las expectativas que existen, $E(X^2)>(E(X))^2$, excepto cuando se $X$ es constante con una probabilidad de $1$.

Answer 5

Digamos que tienes una moneda que dice $X=1$ por un lado y $X=3$ en el otro lado. Le da la vuelta a la moneda. Claramente, $E(X)=\frac12(1+3) = 2$.

Si usted está contando $X^2$ en lugar de $X$, luego a un lado de la moneda vale $1^2=1$ y el otro lado es digno de $3^2=9$, lo $E(X^2) = \frac12(1+9)=5$.

$5\ne 2^2$.