Supongamos $T:V\to V$ es una transformación lineal y $dim(V)=n$. Es bien sabido que existe un número entero $m$ donde $0\le m\le n$ tal que $$\{\textbf{0}\}=K(T^0)\subsetneq K(T^1)\subsetneq K(T^2) \subsetneq \cdots \subsetneq K(T^m)=K(T^{m+1})=K(T^{m+2})=\cdots$$
Aquí $K$ denota kernel. Deje que la nulidad de $T^i$$n_i$. A continuación, tenemos una secuencia $$0, n_1, n_2, \cdots,n_{m-1},n_m,n_m,n_m,\cdots$$
Denotar $s_i=n_i-n_{i-1}$, que puede considerarse como la cantidad de "más grande" $K(T^i)$ es mayor que $K(T^{i-1})$. Está claro que $s_i>0$$0 \le i \le m$.
Estoy leyendo una prueba de algún teorema y yo creo que el autor ha asume de forma implícita $s_{i-1} \ge s_i$.
Vengo con una prueba de ello, pero no estoy seguro acerca de su exactitud.
Considere la posibilidad de $K(T^i)$. Desde $K(T^{i-1})\subsetneq K(T^i)$, se puede elegir $s_i$ vectores, llamado $z_{i,1}, z_{i,2},\cdots,z_{i,s_i}$ no $K(T^{i-1})$, de modo que $$K(T^i)=K(T^{i-1})\oplus \langle z_{i,1},z_{i,2},\cdots, z_{i,s_i}\rangle$$
Ahora, considere el $s_i$ vectores $T(z_{i,1}),T(z_{i,2}), \cdots, T(z_{i,s_i})$.
En primer lugar vamos a demostrar que ellos son linealmente independientes.
Supongamos que $$\textbf{0}=a_1T(z_{i,1})+a_2T(z_{i,2})+\dots+a_{s_i}T(z_{i,s_i})$$ Entonces $$\textbf{0}=T(a_1 z_{i,1}+a_2z_{i,2}+\dots+a_{s_i} z_{i,s_i})$$ $$\implies a_1 z_{i,1}+a_2z_{i,2}+\dots+a_{s_i} z_{i,s_i}\in K(T)\subsetneq K(T^{i-1})$$
Entonces, por definición de $z_{i,1},z_{i,2},\cdots,z_{i,s_i}$, debemos tener $$a_1 z_{i,1}+a_2z_{i,2}+\dots+a_{s_i} z_{i,s_i}=\textbf{0}$$ y por lo tanto $$a_1=a_2 = \dots =a_{s_i}=0.$$
Ahora porque $$T^{i-1}(T(z_{i,j}))=T^i(z_{i,j})=\textbf{0}$$ tenemos $$T(z_{i,j})\in K(T^{i-1}).$$
Siguiente, por el camino de $z_{i,j}$ son los elegidos, tenemos $$T^{i-1}(z_{i,j})\ne\textbf{0}$$ $$T^{i-2}(T(z_{i,j}))\ne\textbf{0}$$ $$z_{i,j}\notin K(T^{i-2})$$
En conclusión, el $s_i$ vectores $$T(z_{i,1}), T(z_{i,2}), \cdots, T(z_{i,s_i})$$ son linealmente independientes, $\in K(T^{i-1})$ pero $\notin K(T^{i-2})$.
Por lo tanto, $$s_{i-1} \ge s_i$$
Es la anterior prueba correcta?
