Definición mínima de la derivada

Question

La definición de la derivada de Fréchet según Wikipedia es:

Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios de Banach, y $U\subset V$ sea un subconjunto abierto de $V$ . Una función $f : U \to W$ se denomina diferenciable de Fréchet en $x \in U$ si existe un operador lineal acotado $(Df)_x : V\to W$ tal que

$$\lim_{h \to 0} \frac{ \| f(x + h) - f(x) - (Df)_x(h) \|_{W} }{ \|h\|_{V} } = 0.$$

Me pregunto si tal vez hay alguna interpretación más "axiomática" de la derivada. Por ejemplo, ¿podríamos definir la derivada como el único operador sobre funciones diferenciables tal que

1. El operador de la derivada es lineal. Es decir, $D(cf) \equiv cD(f)$ y $D(f+g) \equiv D(f)+D(g)$ .

2. La regla de la cadena se mantiene. Es decir, $D(f \circ g)_x \equiv D(f)_{g(x)} \circ D(g)_x$ .

3. La regla del producto se mantiene. Es decir, si $B : X \times Y \to Z$ es un operador bilineal continuo, entonces $(DB)_{(x,y)} (u,v) = B(u,y) + B(x,v)$ .

4. El operador derivado es la identidad de los operadores lineales acotados. Es decir, si $f: U \to V$ se define por $f(x) = A(x)$ donde $A$ es un operador lineal acotado, entonces para todo $x \in U$ , $(Df)_x \equiv A$ .

¿Son estas reglas suficientes para especificar con precisión la derivada? ¿Existen reglas adicionales de este tipo que proporcionen una definición equivalente de la derivada? ¿Alguna de estas reglas es redundante?

Answer 1

Esta parece ser una caracterización válida de una derivada. Permítanme intentar demostrar que si $f$ es suave (digamos, $C^\infty$ para evitar complicaciones innecesarias), entonces $D(f)$ es realmente la derivada de $f$ al menos si asumimos adicionalmente que $D(c) \equiv 0$ para $c$ - mapa constante.

En primer lugar, afirmo que tenemos la regla del producto, al menos en la siguiente forma: si $f: V \to \mathbb{R}$ y $g : V \to W$ entonces $D(fg) = D(f) g + f D(g)$ . Para ello, dejemos que $A : V \to V \times V$ sea el mapa diagonal $x \mapsto (x,x)$ , dejemos que $F(x,x) = (f(x), g(x))$ y finalmente dejar que $B(t,w) = tw$ para $(t,w) \in \mathbb{R} \times W$ . Entonces, $fg(x)$ puede escribirse como $B \circ F \circ A$ . De ello se desprende que: $$D(fg)_x = (DB)_{(f(x),g(x))} \circ (DF)_{(x,x)}\circ (DA)_x$$ Al observar las composiciones de $F$ con proyecciones, se deduce que $(DF)_{(x,y)}(u,v) = ((Df)_x(u),(Dg)_y(v))$ (o eso me parece a mí). De los axiomas anteriores tenemos $(DA)_x = A$ y $(DB)_{(f(x),g(x))} (u,v) = f(x) v + u g(x)$ . Combinando todo esto concluimos que: $$D(fg)_x(v) = f(x) (Dg)_x(v) + (Df)_x(v) g(x)$$ Por lo tanto, se cumple la regla de multiplicación habitual.

En segundo lugar, afirmo que si $g: V \to W$ es un mapa tal que $(D_0g)_x = 0$ y $g(0) = 0$ , donde $D_0$ es la derivada habitual, y $x$ es algún punto en $V$ entonces $(Dg)_x = 0$ . En efecto, si la derivada de $g$ se desvanece en $0$ podemos escribir $g$ como $g(x) = f\tilde{g}(x)$ donde: $f:\ V \to \mathbb{R}$ es un mapa con $f(x) = 0$ y $\tilde{g}: V \to W$ es un mapa con $\tilde{g}(x) = 0$ . (En este punto, estamos utilizando la expansión de Taylor, y la suposición de que $g$ es $C^2$ es necesario). De la regla del producto se deduce que: $$D(g)_x = D(f)_x \tilde{g}(x) + f(x) D(\tilde{g})_x = 0$$ .

Finalmente, damos el golpe de gracia. Dejemos que $g: V \to W$ sea un mapa cualquiera, y $x$ sea un punto fijo. Podemos escribir $g$ en la forma $g(y) = g(x) + (D_0g)_x(y) + h(y)$ , donde $(D_0h)_x = 0$ y $h(0) = 0$ . Ahora bien, las consideraciones anteriores muestran que $D_x(h) = 0$ por lo que por aditividad (y por el comportamiento conocido de $D$ en funciones lineales y constantes) tenemos $(Dg)_x = (D_0g)_x$ . Porque $x$ era arbitraria, al igual que $g$ se deduce que $D$ es la derivada habitual.

En cuanto a los otros axiomas posibles, creo que se puede asumir la regla del producto, y trabajar a partir de ahí. En particular, se puede eliminar la suposición sobre los mapas bilineales. No creo que las otras suposiciones se puedan debilitar significativamente. Sin la suposición de linealidad, no parece una cuestión natural (al menos para mí). También creo que sin la suposición de lo que sucede para los operadores lineales, $D$ dado por algo así como $Df = P^{-1} (D_0f) P$ para algún lineal $P$ funcionaría.

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Un objeto matemático que podría ser relevante es el conexión que es análoga a la derivada pero definida de forma más abstracta (enumerando las propiedades requeridas, como en la pregunta) y que existe en las variedades diferenciales. Dado que normalmente hay muchas conexiones en una colector, esto debería dar algún límite inferior a la cantidad que hay que asumir.