Esta es, probablemente, un increíblemente difícil pregunta, pero teniendo en cuenta un resumen de espacio métrico, ¿hay alguna forma de determinar si se trata de un colector con una de Riemann, o más generalmente un Finslerian, la métrica? Si eso es demasiado difícil, se podría empezar por asumir que el espacio subyacente es un colector. El ejemplo que me puso a pensar acerca de esto fue la inducida por la métrica en la 2-esfera incrustado en $R^3$...el espacio subyacente es, obviamente, un suave colector, y la métrica debe ser suave(el geodesics incluso a grandes círculos, como lo son para el estándar de la métrica en la $S^2$,), pero no veo cómo se podría demostrar la desigualdad de triángulo pointwise, como usted tendría que demostrar que es Finslerian, no hablemos de la de Riemann. Este ejemplo es ya muy simple, ya que es un espacio homogéneo, con la métrica inducida por ser un subespacio de otro espacio homogéneo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si $X$ es un espacio métrico y $x$, $y\in X$, un segmento de $x$ $y$es un subconjunto $S\subseteq X$ tal que $x$, $y\in S$ y $S$ es isométrico a $[0,d(x,y)]$.
Vamos ahora a $n\in\{1,2,3\}$ y deje $X$ ser un espacio métrico que es localmente compacto, $n$-dimensional y tales que (i) cada dos puntos son los extremos de un único segmento, (ii) si dos segmentos tienen un extremo y otro punto en común, entonces uno está contenido en el otro, y (iii) cada segmento puede ser extendido, al final, a un mayor segmento. A continuación, $X$ es homeomórficos a $\mathbb R^n$.
Esta es una métrica caracterización de $\mathbb R^n$ pequeña $n$. El uso local, se obtiene una caracterización topológica de los colectores de pequeña dimensión. Me imagino dimensiones superiores o suavidad son más difíciles de encontrar...
El teorema anterior, junto con unos cuantos buenos resultados, se ha demostrado en [Berg, Gordon O. Métrica caracterizaciones de Euclídea espacios. Pacífico J. Matemáticas. 48 (1973), 11--28.]
Más TARDE...
Por supuesto, el papel [Nikolaev, I. G. Una métrica de la caracterización de los espacios de Riemann. Siberiano Adv. De Matemáticas. 9 (1999), no. 4, 1--58.] es relevante aquí! El documento ofrece puramente métrica caracterizaciones de Riemann colectores de todos los smoothnesses a a $C^\infty$. El SEÑOR de revisión da una pequeña historia del problema y las referencias a trabajos anteriores.
Yo creo que si el subyacente espacio es un suave colector $M$, una métrica $d$ (en el "espacio métrico" sentido) va a dar lugar a una métrica de Riemann si y sólo si satisface una suavidad condición (supongo queremos que la métrica de Riemann para ser suave). Fijar un punto de $p \in M$. Desde nuestro colector es suave, no es un natural de la identificación entre un barrio de el origen del espacio vectorial $TM_p$ y un barrio de $p$$M$. Por lo tanto, podemos asumir que nuestra métrica $d$ se define en este neghborhood de procedencia en $TM_p$. Para un vector $v \in TM_p$, podemos definir su longitud a ser $||\vec v||=\lim_{t\to 0} (d(t\vec v,0)/t)$. Si este límite converge, entonces $\vec v \mapsto ||\vec v||^2$ debe ser una forma cuadrática en $TM_p$ y la polarización de la identidad nos debe de dar una positiva definida forma bilineal $g$ $TM_p$ tal que $g(\vec v,\vec v)=||\vec v||^2$ todos los $\vec v$. La suavidad de la condición en $d$ debe, supongo, que la función de $d(t\vec v,0)$ es siempre suave (por lo que el límite siempre existe), y que el resultado de la $g$ debe ser suave como una función de $p$. En este caso, tenemos nuestra métrica de Riemann.
Así, el problema parece reducir a la pregunta de ¿cuándo la topológico colector $M$ tiene una suave estructura tal que la métrica $d$ satisface la suavidad por encima de la condición. También sería bueno encontrar una manera más simple de estado de la suavidad de la condición.
También estoy pensando en que la gente puede saber una manera de definir las métricas de Riemann en otras categorías que la de lisa colectores. Esto podría ser más apropiado para esta pregunta, pero no tengo idea de cómo lidiar con eso.
(Yo he puesto esto en un comentario, pero no tengo suficiente karma para que. Estoy un poco intimidado que nadie ha publicado algo como esto, espero que no me perdí de algo estúpido.)
