¿Cuál es un ejemplo de una función en M_g?

Question

Se siente mal hablando de un espacio sin saber una sola función, ja?

Entonces, ¿qué es una función en el espacio de moduli de curvas, desde el punto de vista geométrico?

Desde el functorial punto de vista, debe ser invariantes de la familia de curvas, lo cual es natural w.r.t. el retroceso de las familias. El j-invariante, tal vez, uno de M_1. Pero ¿alguien tiene un ejemplo concreto para mayores género?

Tengo dos conjeturas de fuentes de funciones:

1. Hay algunos geométricamente definido divisores, tal vez coger uno, y, a continuación, elija dos secciones de la línea de paquete se define, y tomar el cociente?

2. Tal vez hay algunos "natural" de forma diferenciada, cuya integral sobre toda la curva es una función en M_g?

Answer 1

Si sólo se preocupan por funciones CONTINUAS, se puede fabricar interesantes utilizando la geometría hiperbólica. La clave es que cada compacto de superficie de Riemann de género al menos 2 tiene un canónica de la métrica hiperbólica. Hay, pues, una función continua L, que lleva a una superficie de Riemann S a la longitud de la menor cerrado geodésica en S con su natural métrica hiperbólica. Un hermoso teorema de Mumford dice que para todo e>0, el subconjunto del espacio de moduli, donde L es, al menos, e es compacto (esta región es conocida como el "grueso" de la parte de espacio de moduli). Esto puede ser visto como un análogo para M_g de Mahler criterios de compacidad.

Answer 2

creo que no hay constante holomorphic función de ellos.

Answer 3

Usted puede ir mucho más alto que el 5, creo que el más alto nivel de género para que M_g conocido por ser racional es de alrededor de 14 años y el menor para el que es conocido por no ser es de alrededor de 23. Consulte "Módulos de Curvas", el comienzo de la Sección 6.F, por Harris y Morrison, por muy bonito descripciones explícitas de M_g de baja g.

Answer 4

Para g=2, usted puede hacer las funciones usando el hecho de que género 2 curvas son hyperelliptic. Hay un número finito de mapa a partir de un subconjunto abierto de (P^1)^3 a M_2 dado por la toma de las 2 veces de la cubierta de la P^1 ramificados en 0,1, el infinito, y 3 puntos adicionales. A continuación, puede integrar cualquier función de este subconjunto abierto a lo largo del mapa.

Para los pequeños g (conocido por g menos de 5, creo), el grueso de espacio de M_g es racional, por lo que si sólo se preocupan por meromorphic funciones, ya está todo listo.

Answer 5

Es una pregunta interesante, pero no es obvio el conocimiento de una función le ayudará mucho. E. g. considere la posibilidad de una pregunta similar: se siente mal hablando de curva elíptica sin escribiendo explícitamente de su ecuación.

Para (2), tal vez, tomar g las formas de la naturaleza, entonces g de los ciclos naturales y tomar determinante de sus productos. No recuerdo si hay g las formas naturales. Creo que esto le da un número real a (p/q)^2, llamado periodo, pero todavía no una función.