¿Por qué la iteración en punto fijo sólo produce la solución mayor que $1$ a la ecuación $Mx = e^x$ para $x \in \Bbb R$ ?

Question

La ecuación $Mx = e^x$ cuando $M > 0$ . Sé que la primera solución debe estar en la tangente donde la línea $Mx$ cruza $e^x$ Así que $M$ x tiene gradiente $e^x$ . Esto lleva a $x(e^x) = e^x$ , $x = 1$

Pero todos los $M$ valores superiores a $e$ debe dar exactamente $2$ soluciones. Una que es más grande que una y la otra que ocurre entre $0$ y $1$ (Teorema de Rolle)

Una aproximación a una solución para cualquier $M$ es $\log(M)$ , ya que $\log(M) + \log(x) = x$ . Esto se puede mejorar para darnos $\log(M) + \log\log(M) = x$ . El error de esta aproximación es $\log(1 - (\log(x))/(x))$ que se acerca rápidamente a $0$ como $x$ se hace más grande. El error es este porque $\log\log M = \log(x-\log(x)) = \log(x) + \log(1 - \frac{\log(x)}{x})$

Esto es lo que no puedo entender, $y = \log M$ tiene precisamente una solución, mientras que $y = x - \log(x)$ tiene dos. ¿Por qué la aproximación $\log M + \log\log M$ siempre da la solución anterior $1$ ¿Y de alguna manera ignora la otra solución?

Answer 1

Es cierto que $\frac{\log x}{x}$ es pequeño cuando $x$ es grande, y por lo tanto el error relativo de $\log M$ es pequeño entonces. Pero cuando $0 < x < 1$ , $\frac{\log x}{x}$ no es necesariamente pequeño. De hecho, puede ser bastante grande.

El término de error $\log\left(1 - \frac{\log x}{x}\right)$ también puede ser grande cuando $0 < x < 1$ .

En resumen, las suposiciones que hiciste al tomar tus aproximaciones no son ciertas para $x < 1$ por lo que no se puede esperar que con esos supuestos se encuentre una solución aproximada para $x$ allí.

Answer 2

Transforme su ecuación en

$$ln(M) + ln(x) = x$$

A continuación, mira el gráfico de $ln(x)$ y $x$ :

Como se describe en su pregunta: Si la curva $ln(x)$ se desplaza hacia arriba o hacia abajo en $ln(M)$ puede intersecar la diagonal principal nunca (para $M \lt e$ ), una vez (para $M = e$ ) o dos veces (para $M \gt e$ ).

Answer 3

Parcelas con telarañas Si has oído hablar de ellos o los has visto, son una excelente manera de visualizar el proceso de iteración.

En tu caso estás iterando $$f(x) = \log M + \log x $$ a partir de $$x_0 = 1 $$ con la intención de resolver $$x = f(x)$$

Debería poder ver en el gráfico que la iteración converge.

Utilizando el análisis de estabilidad lineal, se puede encontrar cuál de los dos puntos fijos es estable. Para ello, sólo hay que computar $f'(x) = {1 \over x}$ . Es un teorema general que cuando $|f'(x)| < 1$ el punto fijo es estable y cuando $|f'(x)| > 1$ el punto fijo es inestable, lo que significa que en este caso el único punto fijo estable es aquel para el que $x > 1$ .

Este es una buena referencia para el tema.

Answer 4

Usted dijo en el puesto en alguna parte que $M > e$ . Entonces $\log(M)>1$ y $\log(\log(M))>0$ Por lo tanto $\log(M)+\log(\log(M)) > 1$ . Por tanto, esta aproximación da una solución superior a 1.

Si $M < e$ entonces $\log(M)+\log(\log(M)) < 1$ pero entonces la ecuación no tiene una solución mayor que 1, ya que la derivada de $e^x-cx$ es $e^x-c$ que es positivo cuando $x>1>\log(c)$ cuando $c<1$ y $e-c>0$ también.

Answer 5

Set $\mu=\log M$ para que la ecuación se convierta en $$ x = e^{x-\mu} $$ Supongamos, por ejemplo, que $M=e^2$ así que $\mu=2$ . tomar $x=0.3$ como una primera suposición, $x_0$ . entonces $$ x_1 = e^{ 0.3 - 2} = 0.1826... \\ x_2 = e^{0.1826 -2} = 0.1624... $$ Aunque la convergencia no es especialmente impresionante, esta iteración llega a la raíz en $[0,1]$

en efecto, hay dos "direcciones" en las que podemos realizar esta iteración -la ruta log o la ruta exp- que corresponden a una transformación y a su inversa. de los dos puntos fijos, uno se alcanza por cada ruta.