¿Cómo es $\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} = \sqrt{2}-1$ ?

Question

Me pregunté por qué esto: $$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$$ es igual a $\sqrt{2}-1$ .
¿Alguien puede explicarme, por qué esto es igual? :/

Answer 1

\begin {align} \sqrt { \frac { \sqrt {2}-1}{ \sqrt {2}+1}} &= \sqrt { \frac { \sqrt {2}-1}{ \sqrt {2}+1}} \cdot\sqrt { \frac { \sqrt {2}-1}{ \sqrt {2}-1}} \\ &= \sqrt { \frac { \left ( \sqrt {2}-1 \right )^2}{2-1}} \\ &= \sqrt { \left ( \sqrt {2}-1 \right )^2} \\\\ &= \sqrt {2}-1 \end {align}

Answer 2

Para $a,b>0$ , si $ab=1$ entonces $$ \frac{a}{b}=a^2 $$ y por lo tanto $$ \sqrt{\frac{a}{b}}=a. $$

Ahora, considere $a=\sqrt{2}-1$ y $b=\sqrt{2}+1$ .

Answer 3

Ya que he ampliado mi inicial "comentario de broma" podría hacer una respuesta de broma completa :) Con esto quiero decir que nadie en su sano juicio adoptaría este enfoque para en realidad verificar que las dos cantidades son iguales: en cambio, lo que sigue es una buena forma, aunque limitada, de producir expresiones con radicales que parecen diferentes, pero que en realidad no lo son.

La función trigonométrica $\tan$ (tangente) tiene una gran variedad de fórmulas de medio ángulo . Me gustaría utilizar los dos siguientes:

\begin {align*} \tan \frac\theta 2 &= \frac {1 - \sin \theta }{ \cos \theta } \tag {1} \\ [10pt] \tan \frac\theta 2 &= \sqrt { \frac {1 - \cos \theta }{1 + \cos \theta }} \tag {2} \end {align*}

Evaluar la primera en $\theta = \frac{\pi}{4}$ tenemos que

\begin {align*} \tan \frac { \pi }{8} = \tan \frac { \pi /4}{2} &= \frac {1 - \sin ( \pi /4)}{ \cos ( \pi /4)} \\ [7pt] &= \frac {1 - \frac {1}{ \sqrt {2}}}{ \frac {1}{ \sqrt {2}}} \\ [7pt] &= \left (1 - \frac {1}{ \sqrt {2}} \right ) \cdot \frac { \sqrt {2}}{1} \\ [5pt] &= \sqrt {2} - 1 \end {align*}

Ahora, utilizando la segunda identidad con $\theta = \pi/4$ tenemos

\begin {align*} \tan \frac { \pi }{8} = \tan \frac { \pi /4}{2} &= \sqrt { \frac {1 - \cos ( \pi /4)}{1 + \cos ( \pi /4)}} \\ [7pt] &= \sqrt { \frac {1 - \frac {1}{ \sqrt {2}}}{1 + \frac {1}{ \sqrt {2}}}} \\ [7pt] &= \sqrt { \frac {1 - \frac {1}{ \sqrt {2}}}{1 + \frac {1}{ \sqrt {2}}} \cdot \left ( \frac { \sqrt 2}{ \sqrt 2} \right )} \\ [7pt] &= \sqrt { \frac { \sqrt {2} - 1}{ \sqrt {2} + 1}} \end {align*}