Prueba geométrica que $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ es no-Euclidiana

Question

Hay una prueba geométrica que muestra que $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ es no-Euclidiana?

Creo que este es un boceto de cómo proceder. Considere la posibilidad de la región elíptica $x^2+3y^2<1$. Podemos entonces la partición del plano en la unidad cuadrados, cuatro de los cuales contienen partes de nuestra región. Ahora, podemos traducir estas piezas en la parte superior de una sola unidad, plaza y examinar lo que los puntos no están cubiertos por algunos de los nuevos traducido parte de la elipse?

El uso de este, podemos encontrar elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ de manera tal que el algoritmo de la división no es válido? No estoy realmente seguro de cómo este enfoque; cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Organizar que el centro de la elipse se encuentra en el centro de uno de los cuadrados. La elipse pasa precisamente a través de los cuatro vértices del cuadrado. Esto implica que su anillo es casi, pero no del todo Euclidiana, al menos con respecto a la norma habitual. Pero para completar la prueba, usted necesita demostrar que no es Euclidiana con respecto a cualquier multiplicativo de la norma. En este caso, es más fácil demostrar que su anillo no es un disco flash usb. Sólo se necesita un único contador de ejemplo.