Otra manera de demostrar :$\int_{0}^{1}{x-x^3+x^5-x^7\over (1+x^4)\ln{x}}dx=-\ln{2}$

Question

Demostrar que

$$\int_{0}^{1}{x-x^3+x^5-x^7\over (1+x^4)\ln{x}}dx=-\ln{2}$$

Mi pruebe

$x-x^2+x^3+x^5-x^7=x(1-x^2)+x^5(1-x^2)=x(1+x^4)(1-x^2)$

$$\int_{0}^{1}{x(1+x^4)(1-x^2)\over (1+x^4)\ln{x}}dx$$

Aplicar el teorema de Frullani

$$\int_{0}^{1}{x-x^3\over \ln{x}}dx$$

$$\int_{0}^{1}{x-x^3\over \ln{x}}dx=-\ln{2}$$

Answer 1

Tal vez algunos de uno estará interesado en que

Podemos mostrar

$$ \int^1_0 \frac{x^a-1 }{\log x} dx =\log \left ( a+1\right)$$

El uso de diferenciación bajo el signo integral.

En general

$$ \int^1_0 \frac{x^a-x^b }{\log x} dx =\int^1_0 \frac{x^a-1-(x^b-1)}{\log x} dx =\log \left ( \frac {a+1}{b+1}\right)$$

Por lo tanto

$$ \int^1_0 \frac{x-x^3 }{\log x} dx =\log \left ( \frac {2}{4}\right)=-\log 2$$