Ayudar a resolver el límite de $\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n!}\right)^{2n}$

Question

$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n!}\right)^{2n}$$

He intentado: $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n!}\right)^{2n} = \lim_{n\to \infty} e^{\ln{\left(1+\frac{1}{n!}\right)^{2n}}} = \lim_{n\to \infty} e^{2n\ \ln{\left(1+\frac{1}{n!}\right)}}$$ Pero no sé cómo trabajar con el factorial

Answer 1

$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n!}\right)^{2n}=\lim_{n\to \infty}\left( \left(1+\frac{1}{n!}\right)^{n!}\right)^{\frac2{(n-1)!}}=e^0=1$$

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Alternativamente, Deje $$A=\left(1+\frac{1}{n!}\right)^{2n}$$

Por eso, $$\log A=2n\log \left(1+\frac{1}{n!}\right)\text { using }\log(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots$$

que viene de la serie de Taylor , que tiene por $|x|<1$ $n\to\infty, \frac1{n!}\to0\implies |\lim_{n\to\infty}\frac1{n!}|<1$

$$=2n\left(\frac1{n!}-\frac{\frac1{(n!)^2}}2+\frac{\frac1{(n!)^3}}3+\cdots\right)$$

$$=\frac2{(n-1)!}-\frac1{n!(n-1)!}+\frac{2}{3(n-1)!(n!)^2}+\cdots$$

Por eso, $$\lim_{n\to \infty}\log A=0\implies \lim_{n\to \infty}A=e^0=1$$

Answer 2

Dado que la función exponencial es no negativo, tenemos para $x\geq 0$, $$0\leq \int_0^x\int_0^y \exp(z)\,dz\,dy=\exp(x)-x-1.$$ Enchufar a la desigualdad de $1+x \leq \exp(x)$ da $$1\leq \left(1+\frac{1}{n!}\right)^{2n}\leq \exp\left(2n/n!\right)=\exp\left(2/(n-1)!\right)\to 1$$

Answer 3

Sugerencia: $$\ln(1+x)=x+O(x^2)$$ as $x\to 0$. (Por lo que este límite es igual a 1.)

o puede utilizar la desigualdad $$\ln(1+x)\le x.$$