Bueno, el problema es el siguiente:
$$\int_{\Omega}(x^2+y^2)dxdy\quad\Omega:=\{(x,y)\mid x^4+y^4\le 1\}$$
Mi planteamiento:
Por simetría yo sólo tenía que encontrar
$$\int_{\Omega_1}(x^2+y^2)dxdy\quad\Omega_1:=\{(x,y)\mid x^4+y^4\le 1\wedge x,y\ge 0\}$$
Deje $(x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta)$ donde $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$ $r\in[0,(\cos^4\theta+\sin^4\theta)^{-1/4}]$ (la restricción para $r$ sigue, naturalmente, desde el límite de la ecuación, creo). Por lo tanto la transformación de Jacobi determinante es $\partial(x,y)/\partial(r,\theta)=r$, y
$$\int_{\Omega_1}(x^2+y^2)dxdy=\int_{D_{r\theta}}r^2\cdot rdrd\theta\quad D_{r\theta}:=\{(r,\theta)\mid \theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\wedge r\in[0,(\cos^4\theta+\sin^4\theta)^{-1/4}]\}$$
Después de algún ajuste sencillo tengo
$$\int_{D_{r\theta}}r^2\cdot rdrd\theta=\frac14\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sin^4\theta+\cos^4\theta}=\frac14\frac{\pi}{\sqrt 2}$$
que también fue confirmada por Arce. Por lo tanto
$$\int_{\Omega}(x^2+y^2)dxdy=\frac{\pi}{\sqrt 2}$$
Sin embargo, cuando me cambie a otro enfoque: aplicar directamente el Teorema de Fubini, el resultado parece ser diferente.
Por Fubini, de inmediato nos han
$$\int_{\Omega_1}(x^2+y^2)dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{(1-x^4)^{1/4}}(x^2+y^2)dy=\int_{0}^{1}(x^2\cdot(1-x^4)^\frac14+\frac13(1-x^4)^\frac34)dx$$
Esta integral se puede deshacer con la mano. Así que me volví a Arce para un resultado numérico sólo para ver si mi resultado anterior es correcto, Arce y me dio esto
$$\int_{0}^{1}(x^2\cdot(1-x^4)^\frac14+\frac13(1-x^4)^\frac34)dx\approx0.9443468503$$
Pero $\frac14\frac{\pi}{\sqrt 2}\approx 0.55536$. Fue bastante decepcionante. Fui a través de mi anterior enfoque, una vez más y aún así no pude averiguar donde estaba equivocado. Creo que tal vez estoy en lo correcto, pero siempre he confiado en Arce...
La gente inteligente de MSE, me podrían ayudar? Yo estaría agradecido para cualquier tipo de aclaración.
EDITAR yo estaba usando el "evalf" de la función, (por CIERTO soy un novato en Maple y, literalmente, no sabe cómo hacer el cálculo multivariable sobre eso)
