Topología del conjunto de números ordinales

Question

Este es un problema que encontré mientras leía Topology : An Outline for a First Course de Lewis E. Ward. Supongamos que $\Omega$ denota el menor número ordinal con incontables predecesores. Sea $\mathcal{O}(\Omega)$ denotan el espacio de los números ordinales menores o iguales que $\Omega$ dotado de la topología de orden.

Ahora, es fácil ver que $\mathcal{O}(\Omega)$ y $\mathcal{O}(\Omega) \setminus \{\Omega\}$ son espacios normales. El libro dice que $(\mathcal{O}(\Omega) \setminus \{\Omega\}) \times \mathcal{O}(\Omega)$ no es un espacio normal dando el ejemplo de los 2 subconjuntos cerrados:

1) $A:=(\mathcal{O}(\Omega)\setminus \{\Omega\}) \times \{\Omega\}$

2) $B:=\{(x,x) : x \in \mathcal{O}(\Omega) \setminus \{\Omega\} \}$

Entonces, necesito probar que no podemos encontrar conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ que contiene $A$ y $B$ respectivamente. Ahora tengo 2 problemas:

1) No he podido demostrar lo anterior. ¿Alguien puede decirme cómo demostrarlo?

2) Al intentar demostrar lo anterior, he conseguido "refutar" la afirmación. Es decir, creo que he encontrado conjuntos $U$ y $V$ que satisfacen la propiedad requerida. Entonces, ¿podría decirme dónde me equivoco? La construcción de $U$ y $V$ es la siguiente:

a) Construcción de $U$ : Para cualquier $x \in \mathcal{O}(\Omega) \setminus \{\Omega\}$ por el principio de ordenación de pozos, existe un número entero positivo $n_x$ tal que $\omega^{n_x-1} < x \leq \omega^{n_x}$ . Entonces $$U=\cup ([x,\omega^{n_x}] \times (\omega^{n_x},\Omega])$$ donde la unión es sobre todos los elementos de $ \mathcal{O}(\Omega) \setminus \{\Omega\}$ .

b) Construcción de $V$ : Para cualquier $x \in \mathcal{O}(\Omega) \setminus \{\Omega\}$ por el principio de ordenación de pozos, existe un número entero positivo $n_x$ tal que $\omega^{n_x-1} < x \leq \omega^{n_x}$ . Entonces $$V=\cup ([x,\omega^{n_x}] \times [x,\omega^{n_x}])$$ donde la unión es sobre todos los elementos de $\mathcal{O}(\Omega) \setminus \{\Omega\}$ .

Answer 1

SUGERENCIA: El primer paso es demostrar una versión débil de la lema de pressing-down .

Para abreviar, permítanme escribir $X$ en lugar de $\mathcal{O}(\Omega)$ . Supongamos que $\varphi:X\to X$ es tal que $\varphi(x)<x$ para cada $x\in X$ . Para cada $x\in X$ deje $R(x)=\{y\in X:\varphi(y)\le x\}$ ; Afirmo que existe una $z\in X$ tal que $R(z)$ es incontable.

Si no, para cada $x\in X$ hay un $\psi(x)\in X$ tal que $\psi(x)>x$ y $y<\psi(x)$ para todos $y\in R(x)$ . En otras palabras, si $\varphi(y)\le x$ entonces $y<\psi(x)$ . Sea $x_0\in X$ ser arbitraria. Dado $x_n\in X$ para algunos $n\in\omega$ , dejemos que $x_{n+1}=\psi(x_n)$ . La secuencia $\langle x_n:n\in\omega\rangle$ es una secuencia creciente en $X$ por lo que converge a $x\in X$ . Para cada $n\in\omega$ tenemos $\psi(x_n)=x_{n+1}<x$ Así que $x\notin R(x_n)$ y, por lo tanto $\varphi(x)\ge x_n$ . Pero entonces $\varphi(x)\ge\sup_nx_n=x>\varphi(x)$ lo cual es absurdo. Esto demuestra la afirmación.

Ahora use esto y la definición de la topología del producto para mostrar que si $U$ es un nbhd abierto de su conjunto $A$ entonces existe un $z\in X$ tal que

$$[z,\Omega)\times[z,\Omega)\subseteq U\;,$$

y observe que si $V$ es cualquier nbhd abierto de $B$ ,

$$V\cap\big([z,\Omega)\times[z,\Omega)\big)\ne\varnothing\;.$$