La equivalencia de la intrínseca y la extrínseca métricas de embedded colectores.

Question

Dicen que un compacto n-manifold $\mathcal{M}$ está incrustado en $\mathbb{R}^m$, $m > n$. Si $d_{\mathcal{M}}$ es la distancia geodésica en $\mathcal{M}$, e $d$ la distancia Euclidiana en $\mathbb{R}^m$, luego claramente pequeño $d_{\mathcal{M}}$ implica pequeño $d$.

Parece que el pequeño $d$ debería suponer un pequeño $d_{\mathcal{M}}$ (desde $\mathcal{M}$ es compacto, se debe tener positivos llegar a $\sigma > 0$). Es conocido para ser verdad?

Gracias.

Answer 1

La prueba es similar al argumento que me dieron aquí. Voy a considerar el caso más general de suave incrustaciones $$ i: X\a Y $$ donde $X$ es compacto y $X, Y$ son de Riemann colectores. Primero de todos, el mismo argumento que me dieron aquí muestra que $i$ $R$- Lipschitz para algunos $R$ (yo usé sólo la diferenciabilidad de $i$ y nada más). Por lo tanto, debemos mostrar la bilipschitz propiedad de $i$. Recordar que todo compacto submanifold $Z=i(X)\subset Y$ positivo normal de inyectividad radio, es decir, una constante positiva $r$ de manera tal que la normal, exponencial mapa de $\exp_Z: \nu_Z\to Y$ es un diffeomorphism en su imagen cuando se limita a el subconjunto $$ B_r \nu_Z= \{v\en \nu_Z: |v|<r\}. $$ Aquí $\nu_Z$ es normal en el paquete de $Z$$Y$. La prueba de esta afirmación se da en el libro por Guillemin y Pollack "Topología Diferencial" (ellos lo hacen para incrustaciones a$R^m$, pero eso es lo que te preocupa, y su argumento es general). La imagen de $N=\exp(B_r(\nu_Z))$ es una cierta abrir barrio de $Z$, un tubular de barrio. Desde $\exp_Z$ es un diffeomorphism, su inversa (vamos a llamar a $\log_Z$) es suave. Componer $\log_Z$ con la proyección de $\nu_Z\to Z$ se da un buen mapa de $p: N\to Z$ que es una retracción (corrige $Z$ pointwise) por la construcción. Deje $\bar B_{r'} \nu_Z$ denotar el cierre de $B_{r'} \nu_Z$ en $\nu_Z$, $0<r'<r$. Su imagen en $\exp_Z$ es un compacto submanifold con límite de $K\subset N$. Por lo tanto, la restricción de $h$ $K$$L$- Lipschitz, como me di cuenta de arriba (donde se puede utilizar cualquier métrica de Riemann en $Z$ le gusta, e..g, la compilación de $X$). Desde $h$ es de derecha inversa a la inclusión del mapa de $i: Z\to Y$, se deduce que el mapa $$ i: Z\a K$$ es $L$-bilipschitz, donde puedo utilizar la restricción de la de Riemann función de distancia de$Y$$K$. Desde $K$ contiene un abierto barrio de $Z$$Y$, se deduce que el mapa de $i$ es localmente bilipschitz, es decir, es bilipschitz cuando se limita a abrir $\epsilon$-bolas en $B$ donde $\epsilon>0$ es lo suficientemente pequeño (menor que el mínimo o $r'$ y la inyectividad de los radios de $Z$$Y$).

Ahora, podemos usar el punto de conjunto de la topología. Considere la posibilidad de la mapa $$ \phi(z_1, z_2)= \frac{d_Z(z_1, z_2)}{d_Y(z_1,z_2)}, (z_1,z_2)\Z^2\setminus D, $$ donde $D$ es la diagonal en $Z\times Z$. Ahora, restringir $\phi$ a el subconjunto compacto $C\subset Z^2$ consiste de pares de puntos de $z_1, z_2$, de modo que $d_Z(z_1,z_2)\ge \epsilon$. Desde la distancia las funciones son continuas, $\phi$ es también continua en $C$. Desde $C$ es compacto, la función de $\phi$ está acotada arriba por una constante $R'$. Por lo tanto, el $R'$-bilipschitz la desigualdad (para el mapa de $i$) tiene para todos los pares de puntos en $Z$ dentro de la distancia (calculado en $Z$) al menos $\epsilon$. Por otro lado, se ha probado que la $L$-bilipschitz de la desigualdad de los puntos en $Z$ dentro de la distancia $<\epsilon$. Por lo tanto, el mapa de $i$ $\max(R, L, R')$- bilipschitz. qed