Solucionar $f(f(n))=n!$

Question

¿Qué estoy haciendo mal aquí: ( n!=factorial )
Encontrar $f(n)$ tal que $f(f(n))=n!$

$$f(f(f(n)))=f(n)!=f(n!).$$

Por lo $f(n)=n!$ es una solución, pero no satisface a la ecuación original a excepción de$n=1$, ¿por qué?

Cómo solucionar $f(f(n))=n!$?

Answer 1

Lo que tienes que hacer es partición de los números naturales en las cadenas de iteración de la función factorial:

$0, 1, 1, 1, \dots$

$2,2,\dots$.

$3,3!,3!!,3!!!,\dots$

$4, 4!, 4!!, \dots $

Vaya por empezar el siguiente de la cadena con el menor número natural que no ha sido utilizado.

Excepto las dos primeras cadenas, ninguna cadena se han repetido los valores de y desde la función de $n!$ es inyectiva positivos $n$, de las cadenas será distinto.

Ahora, para encontrar $f$, establecimiento $f(0)=f(1)=1$ $f(2)=2$ le dará la deseada relación de estos valores.

Para todos los otros valores, a la par de las cadenas, y por un par de cadenas

$a_1,a_2,\dots$

$b_1,b_2,\dots$

establezca $f(a_k)=b_k$$f(b_k)=a_{k+1}$.

Esto asegura que el $f\circ f$ sólo se mueve un paso a lo largo de cada cadena como debe satisfacer la ecuación.

Como usted puede ver, usted tiene un montón de opciones en el emparejamiento de seguridad de las cadenas.

Answer 2

La hipótesis es $f(f(n))=n!$. Esto implica que $f(n)!=f(n!)$, como dicen ustedes, pero por desgracia, el recíproco no es cierto; no se puede invertir la dirección y decir que una función de la satisfacción de la última ecuación también satisface $f(f(n))=n!$. Por una situación similar, supongamos que tenemos $x=1$ y de la plaza para la obtención de $x^2=1$; ahora $x=-1$ es una solución para la última ecuación, pero claramente $-1\ne+1$, por lo que hemos "perdido" información al cuadrado.

Answer 3

Se acaba de enterar de que si $f(f(n)) = n!$,$f(n)! = f(n!)$. Eso no significa que cualquier función que satisface la segunda ecuación es válida $f$.