La solución de $y=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{d^ny}{dx^n}$

Question

No es la trivial $y=0$, pero más allá de eso, podría haber más soluciones para $y$ en términos de $x$ tal que

$$y=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{d^ny}{dx^n}\mbox{ pointwise}$$

? Se me planteó este problema para mí, así que no tengo idea. Comencé con: $$\ln(y)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(\frac{d^ny}{dx^n}\right)\mbox{ pointwise}$$ $$\frac{y'(x)}{y(x)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^{(n+1)}(x)}{y^{(n)}(x)}\mbox{ pointwise}$$ Y he jugueteó con diversas manipulaciones, pero sin éxito. Alguna idea?

Answer 1

Si:

$$\frac{y'(x)}{y(x)} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{y^{(n+1)}(x)}{y^{(n)}(x)}$$

A continuación,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y^{(n+1)}(x)}{y^{(n)}(x)} = 0$. De ello se desprende que, para $n$ lo suficientemente grande, usted tiene $y^{(n+1)}(x) < \frac{1}{2} y^{(n)}(x)$. Si este es el caso de:

$$y(x) = \prod_{n = 1}^{\infty}y^{(n)}(x) = 0$$

Lo que significa que $y = 0$. Esta no es una solución completa, ya que hay problemas potenciales con tomar el logaritmo natural de la no-números positivos y de mover la derivada allá de la suma (como lo hizo en el top post). Pero creo que usted debería ser capaz de llenar los vacíos.