La intersección de la distribución de más de un infinito de la unión, de la unión a través de una infinita intersección

Question

No estoy realmente seguro de cómo escribir en notación...pero espero que esto tiene sentido. Me ayuda en la comprobación de que:

$$F \cap \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i = \bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i)$$

Y

$$F \cup \bigcap\limits_{i=1}^\infty E_i = \bigcap\limits_{i=1}^\infty(F\cup E_i)$$

Yo realmente no sé por dónde empezar con este.

Answer 1

Para el primero:

Podemos demostrar que el lado izquierdo está contenida en el lado derecho, y a la inversa.

Supongamos que $x\in F\cap\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}$. Eso significa que $x\in F$, e $x\in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_i$; por lo tanto, $x\in F$ y no existe $n$ tal que $x\in E_n$. Por lo tanto, no existe $n$ tal que $x\in F$$x\in E_n$, lo $x\in F\cap E_n$. Por lo tanto, existe al menos un $n$ tal que $x\in F\cap E_n$, lo $x\in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}(F\cap E_i)$, como se desee.

De lo contrario inclusión, supongamos que $y\in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}(F\cap E_i)$. Que significa que existe un $n$ tal que $y\in F\cap E_n$. Por lo tanto, $y\in F$, y hay un $n$ tal que $y\in E_n$; la última condición implica que $y\in\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_i$. Como también tenemos $y\in F$, $y$ se encuentra en la intersección $F\cap\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_i$.

Por lo tanto, hemos demostrado que $$F\cap\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}(F\cap E_i)\text{ and } \bigcup_{i=1}^{\infty}(F\cap E_i) \subseteq F\cap\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i.$$ Por lo tanto, los dos conjuntos son iguales.

Un argumento similar se cumple para la segunda igualdad, recordando que esta tirado en la intersección significa acostado en cada uno de los conjuntos.

Answer 2

Probablemente la forma más fácil de demostrar estas afirmaciones es por lo que yo llamo elemento de persecución: mostrar que cada elemento de la izquierda es también un elemento de la mano derecha y viceversa. Echemos un vistazo a la primera. Supongamos que $x \in F \cap \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i$. La definición de intersección indica que $x \in F$ e $x \in \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i$. Desde $x \in \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i$, la definición de la unión le dice que $x$ pertenecen al menos a uno de los conjuntos de $E_1,E_2,E_3,\dots$, por lo que existe algún entero positivo $k$ tal que $x \in E_k$. (Puede haber más de uno de estos entero, pero todo lo que necesitamos es una). Ahora sabemos que $x \in F$$x \in E_k$, lo $x \in F \cap E_k$. Pero $x \in F \cap E_k$ es uno de los conjuntos que pasa en la unión de las $\bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i)$ sobre el lado derecho, por lo que automáticamente $F \cap E_k \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i)$, y por lo tanto $x \in \bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i)$. Ahora hemos demostrado que cada miembro de $F \cap \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i$ es también un miembro de $\bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i)$, o en otras palabras que $$F \cap \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i).$$ To finish the argument, you have to show that $$\bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i)\subseteq F \cap \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i.$$ You do this the same way, by starting with an arbitrary $x \in \bigcup\limits_{i=1}^\infty (F\cap E_i)$ and showing that it must belong to $F \cap \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i$ así.

Usted puede manejar la segunda declaración de la misma manera: en primer lugar demostrar que todos los miembros de $F \cup \bigcap\limits_{i=1}^\infty E_i$ es un miembro de $\bigcap\limits_{i=1}^\infty(F\cup E_i)$, y, a continuación, mostrar el opuesto a la inclusión. Voy a empezar. Supongamos que $x \in F \cup \bigcap\limits_{i=1}^\infty E_i$; a continuación, $x \in F$ o $x \in \bigcap\limits_{i=1}^\infty E_i$ (o ambos), y usted tendrá que distinguir dos casos.

(1) Si $x \in F$, $x \in F \cup E_i$ para cada entero positivo $i$, lo $x \in \bigcap\limits_{i=1}^\infty(F\cup E_i)$ por la definición de intersección.

(2) Si $x \in \bigcap\limits_{i=1}^\infty E_i$, entonces ... ¿qué? Voy a dejar este caso para usted, así como lo opuesto a la inclusión.