Probar que si $\cos{x} = \cos{y}$ $\sin{x} = \sin{y}$ $x-y = 2\pi n$ algunos $n\in \mathbb{Z}$

Question

Yo era la resolución de algunos ejercicios en el análisis complejo en la preparación para un examen de calificación, y me encontré con un problema que me pidió para demostrar que si $x, y \in \mathbb{R}$

$$ e^{ix} = e^{i y} \iff x - y = 2 \pi n \quad \text{para algunas de} \ n \in \mathbb{Z} $$

Al principio pensé que era bastante fácil y lo que pensé es que era obvio que si he utilizado la fórmula de Euler y equipara partes real e imaginaria, de modo que

$$ e^{ix} = e^{i y} \ffi \cos{x} = \cos{y} \quad \text{y} \quad \sin{x} = \sin{y} $$

y el pensamiento de este en términos de los puntos correspondientes en el círculo unidad. Pero eso no parece muy riguroso para mí. Así que me gustaría preguntar lo siguiente.

¿Cómo puede ser esto confirma con otra definición de las funciones trigonométricas como la definición de la serie o de la definición de las soluciones de la ecuación diferencial $y'' = -y$ con unas condiciones iniciales? Y qué propiedades de las funciones trigonométricas tienen que ser utilizados para demostrar esto?

Nota He pensado en hacer el siguiente, pero todavía no puedo completar el argumento.

$$ e^{ix} = e^{i y} \ffi e^{i(x-y)} = 1 \ffi \cos{(x-y)} = 1 \quad \text{y} \quad \sin{(x-y)} = 0 $$

y ahora me gustaría que a la conclusión de que esto ocurre si y sólo si $x-y = 2 \pi n$, pero no saben cómo justificar esto.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Como se observa, $$ e^{ix} = e^{iy} \iff e^{i(x-y)} = 1 \iff \cos{(x-y)} = 1$$ (La condición de $\sin{(x-y)} = 0$ es redundante porque se desprende de lo $\cos{(x-y)} = 1$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.)

Ahora si $\cos\theta = 1$, $\theta = 2n\pi$ bastante mucho por definición. Una manera de ver esto es que el $\cos$ es periódica con período de $2\pi$, y sólo el $\theta$ $[0,2\pi)$ que $\cos\theta = 1$$\theta=0$. Dicho de otra manera, si $2\pi n$ es el múltiplo de la $2\pi$ que es la más cercana a $\theta$, a continuación, escribir $\theta = 2\pi n + \phi$ donde$-\pi < \phi \leq \pi$,$1 = \cos(\theta) = \cos(2\pi n + \phi) = \cos(\phi)$, lo $\phi = 0$.

Alternativamente, $\cos\theta$ es la proyección sobre el eje x de un punto en el que ha girado el ángulo de $\theta$ desde su punto inicial $(1,0)$, por lo que si $\cos\theta = 1$ (y, por tanto,$\sin\theta = 0$), entonces el punto ha vuelto a $(1,0)$, por lo que debe haber hecho un número de vueltas completas: si realizó $n$ se convierte, entonces se dice $\theta = 2\pi n$.