De referencia para una tangente al cuadrado de la suma de la identidad

Question

Alguien me puede ayudar a encontrar una referencia formal para la siguiente identidad sobre la suma del cuadrado de la función tangente:

$$\sum_{k=1}^m\tan^2\frac{k\pi}{2m+1} = 2m^2+m,\quad m\in\mathbb{N}^+.$$

Me lo han demostrado, sin embargo, la prueba es demasiado largo para ser incluido en un papel. Tan sólo quiero hacer referencia a algunos de los libros o artículos publicados.

También me pareció que para ser un caso especial de la siguiente identidad,

$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\tan^2\frac{k\pi}{n} = \frac16(n-1)(-(-1)^n (n + 1) + 2 n - 1),\quad n\in\mathbb{N}^+$$

que es proporcionada por Wolfram.

Muchas gracias!

Answer 1

Jolley, la Suma de la Serie, la fórmula 445 es $$\sum_{k=0}^{n-1}\tan^2\left(\theta+{k\pi\over n}\right)=n^2\cot^2\left({n\pi\over2}+n\theta\right)+n(n-1)$$ Let $\displaystyle\theta={\pi\over2m+1}$, $n=2m+1$ and we almost have your sum; we have twice your sum, since the angles here go from just over zero to just under $\pi$, while in your sum they go from just over zero to just under $\pi/2$, and $\tan^2\theta=\tan^2(\pi-\theta)$.

Jolley, la referencia es la página 73 de de S L Loney, Plano de la Trigonometría, Cambridge University Press, 1900. Este libro es el más conocido de su parte en Ramanujan en la educación temprana.

Answer 2

De hecho, este tipo de fórmula se relacionan con los coeficientes binomiales. Doy una prueba del caso general me he encontrado en mi post Tan binomio fórmulas a partir de un conjunto S y k subconjunto