La convergencia de equivalencia

Question

Si $G_k(\mathbb{R}^m)=\{ W: W$ es el subespacio de $\mathbb{R}^m, \dim W=k \}$ y considerar en $G_k(\mathbb{R}^m)$ una topología $\tau$ donde $U\in \tau$ es abierto si el conjunto de $\widehat{U}=\lbrace v: v\in W\backslash \lbrace 0\rbrace, \mbox{for some} \ W\in U \rbrace$ está abierto en $\mathbb{R}^m$

Estoy probando el siguiente:
Si para cada a $k\in \mathbb{N}$ hay una base $\lbrace u^k_1,\ldots,u^k_n\rbrace$ $S_k$ tal que $\Lambda=\lbrace \displaystyle{\lim_{ k \rightarrow +\infty}}u^k_1,\ldots,\displaystyle{\lim_{ k \rightarrow +\infty}}u^k_n\rbrace$ es una base de $S$ $\lbrace S_k\rbrace \subset G_n(\mathbb{R}^m)$ converge a $S\in G_n(\mathbb{R}^m)$.

Mi progreso:

Deje $U$ abierto de $S$$G_n(\mathbb{R}^m)$. Dado que el $\widehat{U}$ está abierto en $\mathbb{R}^m$ tal que $\Lambda \subset \widehat{U}$, $k_0 \in \mathbb{N}$ tal que $u^k_j \in \widehat{U}$ todos los $k\geq k_0$ y todos los $1\leq j\leq n$. No $W_j\in U$ tal que $u^k_j\in W_j$. Pero como muestra de $W_j=S_k$ todos los $1\leq j\leq n$?

Nota: La otra dirección de la instrucción también es cierto, pero sólo necesito el de arriba.

Este es un ejemplo de abrir

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\vecspan}{span}$La declaración que quería probar lo que en realidad es falso, si no me equivoco. He aquí un contraejemplo. Definir $A \subset G_2(\mathbb R^3)$ por $$ A = \left\{\vecspan\bigl\{(1,0,0),(0,1,t)\bigr\} : -1 < t < 1 \right\} \cup \left\{\vecspan\bigl\{(0,1,0),(1,0,t)\bigr\} : -1 < t < 1 \right\}. $$ Este es un espacio abierto de barrio de el elemento $S = \left\{ (x,y,z) : z = 0 \right\} \in A$ porque $\widehat A = \left\{ (x,y,z) : \lvert z \rvert < \max(\lvert x \rvert, \lvert y \rvert) \right\}$ está abierto.

Ahora defina $\Lambda_k = \bigl( (1,0,1/k), (0,1,1/k) \bigr)$$S_k = \vecspan \Lambda_k$$k \in \mathbb Z_{>0}$. Tenga en cuenta que $S = \vecspan(\lim_{k \to \infty} \Lambda_k)$.

Sin embargo, también tenemos $S_k \notin A$ todos los $k$ (consecuencia de ser que $S_k$ no converge a $S$). Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que$(1,0,1/k) \notin \vecspan \left\{ (1,0,0), (0,1,t) \right\}$$t \neq 0$; la razón de esto es que cuando a un punto en que el avión tiene un valor distinto de cero $z$-coordinar, también debe tener un valor distinto de cero $y$-coordinar. Asimismo, $(0,1,1/k) \notin \vecspan \left\{ (0,1,0), (1,0,t) \right\}$$t \neq 0$. Y por supuesto, ni los $(1,0,1/k)$ ni $(0,1,1/k)$ mentira en $S$. Así, hemos determinado que cada elemento de a $A$ no contienen al menos un punto de $S_k \supset \left\{ (1,0,1/k), (0,1,1/k) \right\}$. La conclusión deseada de la siguiente manera.

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El apéndice. A juzgar por la respuesta de la crítica, algunas aclaraciones podría estar en orden. Mientras que $k>2 \implies S_k \setminus \{0\} \subset \widehat A$, no obstante, sigue siendo el caso que $S_k \notin A$ todos los $k \in \mathbb Z_{>0}$. El conjunto $A$ es la unión de las dos familias de planos especificados en la parte superior de la respuesta, nada más, nada menos. En general, la implicación $U \in A \implies U \setminus \{0\} \subset \widehat A$ es cierto, pero a la inversa no.

También puede darse la confusión derivada de intentar utilizar la intuición de la canónica colector de la topología en la Grassmannians. El $\tau$ topología de la pregunta es estrictamente más fina que la del colector de topología. De esta manera abrir barrios en $\tau$ no necesariamente contienen cada subespacio que es lo suficientemente "cerrar" en la habitual colector de sentido; mientras que $(S_k)$ converge a $S$ en el colector de topología, la misma secuencia no converge en el $\tau$ topología.