¿La especificación de una secuencia general requiere el Axioma de Elección?

Question

Muchos de los resultados de análisis elemental requieren alguna forma de que el Axioma de Elección (a menudo de formas más débiles, tales como contables o dependiente). Mi pregunta es un poco más específico, con respecto a las secuencias.

Por ejemplo, considere la posibilidad de un estándar de prueba de la acotamiento teorema que establece que una función continua en un intervalo cerrado $I$ es acotada en dicho intervalo. En el primer paso de la prueba, uno especifica una secuencia como la siguiente:

Supongamos por contradicción que $f$ es ilimitado. A continuación, para cada $n\in\mathbb{N}$ existe $x_n$ tal que $f(x_n) > n$. Esto especifica una secuencia $(x_n)$.

No estoy seguro de si el ejemplo anterior requiere de la elección. A mí, ciertamente parece que sí. Más específicamente, creo que estamos especificando una secuencia de conjuntos de $$A(n) = \left\{x\in I\mid f(x) > n\right\}$$ and claiming the existence of a choice function $g$ such that $g(n) \(n)$ de modo que en este ejemplo se requiere específicamente que el axioma de contables elección. Por favor aclarar si mi razonamiento es correcto. Más específicamente, ¿la construcción de cualquier secuencia general (tal como se definen como el anterior, o tal vez de forma recursiva), a continuación, requieren algún tipo de elección? Gracias por la ayuda.

Answer 1

En realidad, si $f$ es continuo a partir de un intervalo cerrado (es decir $[0,1]$) a $\mathbb R$, entonces usted no necesita el axioma de elección para demostrar que es acotada.

1. Primero observar que cerrado y acotado a los intervalos son muy compacta, incluso sin el axioma de elección. La prueba de esto es bastante agradable y sencilla, vamos a $\mathcal B$ ser arbitraria abra la cubierta de $[0,1]$, simplemente considerar $x=\sup\{y\in[0,1]\mid [0,y]\text{ has a finite subcover in }\mathcal B\}$, deducir que $[0,x]$ es finitely cubierto, y luego argumentar que tenemos $x=1$ (por la misma razón).

2. Podemos deducir de lo anterior que un subconjunto de a $\mathbb R$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Si es compacto no puede ser ilimitado, y tiene que ser cerrado desde $\mathbb R$ es un espacio de Hausdorff; por otro lado, si es cerrado y acotado es un subconjunto de un intervalo cerrado, por lo tanto cerrado en un espacio compacto y por lo tanto compacto.

3. Lo cierto es que si $f$ es una función continua de un conjunto compacto en un espacio métrico, a continuación, su imagen es compacto. Para ver esto simplemente tenga en cuenta que cada apertura de la tapa de la imagen puede ser traducido en una apertura de la tapa del dominio compacto, por lo tanto, podemos tomar un número finito de subcover, y esto se traduce a un número finito subcover de la imagen.

Por tanto, la imagen de una imagen continua de un intervalo cerrado es compacto y la imagen alcanza un mínimo y máximo de los valores (ya que la imagen es un conjunto cerrado).

También tenga en cuenta que $A(n)$ como se especifica es simplemente intersección de $I$ con un conjunto abierto que es la preimagen de $(n,\infty)$. La elección de abrir los conjuntos es factible sin el axioma de elección [3].

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En general, cuando se trata simplemente de producir una secuencia que a veces puede evitar opción si tenemos un método de cálculo de la siguiente elemento de una manera uniforme (inducción es no de una manera uniforme!). Si nos limitamos a "tomar otro elemento", nos terminan usando elección, pero a veces podemos evitar estas cosas (por ejemplo, en lugar de arbitrario $\delta$ $\frac1k$ menos $k$ de ajuste). Incluso puede ser posible, cuando se necesita sólo una secuencia, el uso de los números racionales. Esos son contables y, en particular, bien disponible y podemos elegir entre esas tantas como queramos.

Sin embargo, a veces queremos argumentar que no trivial, existen secuencias, y para ello se han hecho para tener alguna opción. Por ejemplo, la prueba de que $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ implica $f\colon A\to\mathbb R$ es continua en a $a$ puede romper, porque necesitamos discutir para todas las secuencias y no producir una sola.

Puede darse el caso de que $A$ sí es Dedekind-finito, y cada secuencia tiene sólo un número finito de términos (al menos uno de esos repetir, por supuesto) por lo que en el caso anterior $x_n\to a$ implica que casi siempre $x_n=a$, pero podemos asegurar que $f$ no es continua en a $a$. De hecho, en tales $A$ hay sólo un número finito de números racionales, y tirando de el truco de elegir racionales ya no funciona.

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Leer más:

1. La continuidad y el Axioma de Elección
2. Axioma de elección y cálculo
3. Abrir Conjuntos de $\mathbb{R}^1$ y el axioma de elección